Python打印帕斯卡三角中二项式系数计算公式的推导疑问

基础前提 #

• 帕斯卡三角的第i行（代码中从0开始计数）的第k个元素（同样从0开始计数），等价于组合数公式 C(i, k)，含义是从i个不同元素中选k个的方案数
• 组合数的标准计算公式是：C(i, k) = i! / (k! * (i - k)!)，其中!代表阶乘运算
• 代码中每一行的初始值coff = 1，对应的就是C(i, 0) = 1，也就是每行的第一个元素固定为1

公式推导 #

你困惑的公式本质是同一行内相邻组合数的递推关系，推导过程如下：
我们需要从当前的第k个组合数C(i, k)，推导得到同一行下一个元素C(i, k+1)：

1. 先写出C(i, k+1)的展开式：
   C(i, k+1) = i! / [ (k+1)! * (i - (k+1))! ] = i! / [ (k+1)*k! * (i -k -1)! ]
2. 将C(i, k)的公式做变形：
   C(i, k) = i! / (k! * (i -k)!) = i! / (k! * (i -k) * (i -k -1)! )
   调整后得到 i!/(k! * (i -k -1)!) = C(i, k) * (i -k)
3. 把上面的结果代入C(i, k+1)的展开式：
   C(i, k+1) = [ C(i, k) * (i -k) ] / (k + 1)
   这就完全对应了代码里的公式：coff = int(coff * (i - k) / (k + 1))

补充说明 #

• 组合数的计算结果必然是正整数，所以这里的除法运算结果一定是整数，用int()转换不会出现精度丢失的问题
• 举个实际例子验证：比如取i=3（对应帕斯卡三角第4行，元素为1、3、3、1）
  • k=0时，coff初始为1（C(3,0)=1），计算下一个值：1 * (3-0)/(0+1) = 3，也就是C(3,1)=3
  • k=1时，coff为3，计算下一个值：3*(3-1)/(1+1) = 3*2/2=3，也就是C(3,2)=3
  • k=2时，coff为3，计算下一个值：3*(3-2)/(2+1)=3*1/3=1，也就是C(3,3)=1
    完全和帕斯卡三角的数值匹配。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JumberGodo