同为O(Xⁿ)形式的指数阶大O表示法应当如何进行比较？

首先要先纠正你对「忽略常数」规则的误解：这个规则不是所有带常数的地方都能用，仅适用于两类场景：

• 完全与变量n无关的加性常数项：比如复杂度表达式末尾的+5、+100这类固定值，在复杂度高于O(1)时可以直接忽略
• 与最高阶项直接相乘的常数系数：比如O(3n)里的3、O(100n²)里的100，这类乘在最高阶项前面的常数可以忽略，不会改变复杂度的增长等级

接下来看你给出的几个复杂度，默认你写的5^3n是指数形式5^(3n)（如果是(5^3)*n的话属于线性复杂度，和你问的底数差异问题不匹配），先做等价变形：

• O(5^(3n))可以转换为O((5^3)^n) = O(125^n)
• O(5^(3n)+5)里的+5是加性常数，直接忽略后等价于O(125^n)
• O(3^(5n))可以转换为O((3^5)^n) = O(243^n)
• 剩下的O(15^n)、O(5^n)无需变形，就是底数为15和5的指数复杂度

你之前的推导错误在于把指数里的常数、指数的底数都当成了可以忽略的常数，这是完全不成立的：
指数函数的增长等级完全由底数决定，只要底数a > b > 1，那么O(a^n)的增长速度就会远远快于O(b^n)，且差距会随着n的增大呈指数级拉大。比如n=5时：

• 5^5 = 3125
• 15^5 = 759375
• 125^5 = 3.05e10
• 243^5 = 8.47e11
  仅仅n=5的情况下，最高和最低的复杂度已经差了8个数量级，实际运行时的耗时差距会大到根本不在一个可比维度。

总结：你列的这几个复杂度完全不是同一等级，底数的差异会导致实际运行效率出现天差地别的区别，指数场景下不要滥用「忽略常数」的规则。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sarctechie