二进制浮点数中DECIMAL_DIG减DIG的差值为何是2或3？

首先明确两个宏的定义和计算规则：

• xxx_DIG：表示该二进制浮点数类型可保证无损互转的十进制数最大有效位数。任意不超过该位数的十进制数，转成对应浮点数再转回十进制，结果和原值完全一致。计算公式为 floor((p-1) * log10(2))，其中p是浮点数尾数的总比特数（含隐式前导1）。
• xxx_DECIMAL_DIG：表示把该二进制浮点数转成十进制字符串时，需要的最小有效位数，可保证十进制字符串转回浮点数后和原值完全一致。计算公式为 ceil(1 + p * log10(2))。

log10(2)是无理数，数值约为0.3010，因此p * log10(2)永远不会是整数，我们设p * log10(2) = k + f，其中k是整数，0 < f < 1：

1. 计算xxx_DECIMAL_DIG：ceil(1 + k + f) = k + 2（因为f>0，1+k+f的整数部分是k+1，向上取整结果就是k+2）
2. 计算xxx_DIG：floor((p-1)*log10(2)) = floor(p*log10(2) - log10(2)) = floor(k + f - 0.3010)

这里只会出现两种情况：

• 当f > 0.3010时：k + f - 0.3010 大于k、小于k+1，向下取整结果为k，差值为 (k+2) - k = 2
• 当f < 0.3010时：k + f - 0.3010 大于k-1、小于k，向下取整结果为k-1，差值为 (k+2) - (k-1) =3

你给出的常见浮点数场景完全匹配推导结果：

• float（p=24）：24*log10(2)≈7.224，f=0.224<0.3010，差值为3，对应FLT_DECIMAL_DIG - FLT_DIG == 9 - 6 == 3
• double（p=53）：53*log10(2)≈15.953，f=0.953>0.3010，差值为2，对应DBL_DECIMAL_DIG - DBL_DIG == 17 - 15 == 2
• x86 80位long double（p=64）：64*log10(2)≈19.264，f=0.264<0.3010，差值为3，对应LDBL_DECIMAL_DIG - LDBL_DIG == 21 - 18 == 3
• float16（p=11）：11*log10(2)≈3.311，f=0.311>0.3010，差值为2，对应FLT16_DECIMAL_DIG - FLT16_DIG == 5 - 3 == 2

所有标准二进制实现的浮点数，该差值确实只能是2或者3，没有其他可能。因为推导过程中唯一的变量是f，f的取值范围只有小于或大于0.3010两种情况，不存在第三种可能，也不会出现其他差值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者pmor