如何在scipy.integrate.solve_ivp中传入矩阵求解多自由度振动方程？

scipy.integrate.solve_ivp本身没有内置直接传入质量、刚度、阻尼矩阵的参数，但你可以通过编写通用的一阶方程右函数实现和Matlab ode45相同的效果，无需逐行编写每个一阶方程，适配任意自由度的系统，具体实现逻辑如下：

核心原理 #

n自由度弹簧-质量-阻尼系统的控制方程为通用形式：
$$ M \ddot{x} + C \dot{x} + K x = F(t) $$
其中：

• $M$ 为n×n质量矩阵
• $C$ 为n×n阻尼矩阵
• $K$ 为n×n刚度矩阵
• $x$ 为n×1位移向量，$\dot{x}$ 为速度向量，$\ddot{x}$ 为加速度向量
• $F(t)$ 为n×1时变外力向量

转换为一阶状态方程时，定义2n维状态向量 $y = \begin{bmatrix} x \ \dot{x} \end{bmatrix}$，则一阶导数可统一写为：
$$ \dot{y} = \begin{bmatrix} \dot{x} \ \ddot{x} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y[n:] \ M^{-1} \cdot (F(t) - C \cdot y[n:] - K \cdot y[:n]) \end{bmatrix} $$
该公式对任意n值均成立，不需要针对不同自由度修改逻辑。

通用代码实现 #

你只需要提前定义好对应维度的M、C、K矩阵和外力函数F(t)，不需要逐行编写每个一阶方程，以下是适配你2DOF示例的通用版本代码，直接替换M/C/K和F(t)的定义即可适配30自由度甚至更高维度的系统：

from scipy.integrate import solve_ivp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# -------------------------- 仅需修改以下参数即可适配不同自由度系统 --------------------------
# 系统参数（以2DOF为例，30自由度则对应生成30×30的M/C/K矩阵即可）
n = 2  # 自由度数量
M = np.diag([3, 5])  # 质量矩阵
C = np.array([
    [1+2, -2],
    [-2, 2]
])  # 阻尼矩阵
K = np.array([
    [7+9, -9],
    [-9, 9]
])  # 刚度矩阵

# 时变外力函数，输入t返回n维外力向量
def external_force(t):
    f1 = 40 * np.cos(3*t)
    f2 = 4 * np.sin(t**2)
    return np.array([f1, f2])

# 求解配置
start_time = 0
end_time = 60
delta_t = 0.1
# 初始条件：前n个为各质量初始位移，后n个为各质量初始速度
initial_conditions = np.array([6, 9, 0, 4])
# ----------------------------------------------------------------------------------------

# 通用右函数，任意n自由度均不需要修改
def F(t, y):
    dy_dt = np.zeros(2*n)
    # 前n维为位移的导数（即速度）
    dy_dt[:n] = y[n:]
    # 后n维为速度的导数（即加速度），用solve替代inv计算更稳定
    dy_dt[n:] = np.linalg.solve(M, external_force(t) - C @ y[n:] - K @ y[:n])
    return dy_dt

# 求解
time_interval = [start_time, end_time]
sol = solve_ivp(F, time_interval, initial_conditions, max_step=delta_t)

T = sol.t
Y = sol.y

注意事项 #

• 30自由度对应的状态向量仅60维，属于极小规模的ODE问题，numpy的矩阵运算效率远高于手动逐行写方程，无需担心性能问题
• 针对更大规模的系统，如果M为稀疏矩阵，可以替换np.linalg.solve为scipy.sparse.linalg.spsolve进一步提升计算效率
• 该写法和Matlab中传入矩阵给ode45的逻辑完全一致，仅需要提前组装好对应维度的矩阵即可

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user15014634