如何求解3D直角三角形内已知x、z坐标点对应的y坐标值？

核心逻辑 #

3个不共线的点唯一确定一个空间平面，直角三角形的三个顶点必然共面。你要计算的点已经确认落在三角形的x-z二维投影范围内，说明该点也在三角形所在的平面上，代入平面方程即可直接算出y值。

具体计算步骤 #

• 先标记三角形三个顶点的3D坐标为 A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)、C(x₃, y₃, z₃)
• 计算三角形所在平面的法向量：
  先求两条边的向量：
  AB = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)
AC = (x₃-x₁, y₃-y₁, z₃-z₁)
  对两个向量做叉乘得到平面法向量 n = (a, b, c)，计算规则为：

  a = (y₂-y₁)*(z₃-z₁) - (z₂-z₁)*(y₃-y₁)
  b = (z₂-z₁)*(x₃-x₁) - (x₂-x₁)*(z₃-z₁)
  c = (x₂-x₁)*(y₃-y₁) - (y₂-y₁)*(x₃-x₁)
  

• 写出平面通用方程：代入点A的坐标可得 a*(x - x₁) + b*(y - y₁) + c*(z - z₁) = 0
• 代入已知点的x、z值，整理求解y：
  y = y₁ - (a*(x - x₁) + c*(z - z₁)) / b
  注意：如果计算得到b=0，说明三角形所在平面平行于y轴，此时三角形的x-z投影为一条线段，你可以取投影线段两端对应的原3D顶点，对y值做线性插值即可得到结果

可选简化方案 #

你也可以用重心坐标法计算：先对x-z投影面上的三个顶点和目标点计算重心权重，再用权重对三个原顶点的y值做插值，最终结果和平面方程法完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MTB