scipy.optimize.newton的tol参数是否针对输入x而非函数输出值？

问题结论 #

是的，scipy.optimize.newton的tol参数默认确实作用于输入变量x的迭代步长，而非目标函数输出f(x)的残差。

测试代码异常的直接原因 #

你选择了初始点x=0，而你定义的函数fn = lambda x: x*x-60在x=0处的导数值为0，牛顿法（未传入导数参数时默认使用正割法）在该位置无法正常迭代更新x值，两次迭代的x差值直接小于你设置的tol=0.1，所以迭代提前终止，返回了接近0的结果，对应的f(x)自然接近-60。
另外注意你的导入拼写有误，正确导入应为from scipy.optimize import newton，你写的optimise是英式拼写，会导致导入报错。

参数设计说明 #

newton函数的官方定义中，终止条件为|x_k - x_{k-1}| < tol，即相邻两次迭代的x值的绝对差小于容差时停止迭代。这种设计是数值求根领域的常见实现：

• 步长容差不受函数缩放影响，比如你将目标函数整体乘以任意常数，x的解精度不会受干扰
• 如果需要基于f(x)残差的终止条件，可在迭代结束后自行校验fn(res)是否符合要求，或是使用scipy.optimize.root_scalar接口，该接口支持更灵活的终止条件配置

修正后的测试示例 #

from scipy.optimize import newton
fn = lambda x: x*x-60
# 传入导数，选择非导数零点的初始值8
res = newton(fn, 8, fprime=lambda x: 2*x, tol=0.1, maxiter=10000)
print(res) # 输出约7.746，满足x的步长容差要求
print(fn(res)) # 输出约1e-4量级，残差远小于预期

内容的提问来源于stack exchange，提问作者BlueTrin