带强制中途词约束的最小字母距离Word Ladder问题求解

原有方案的问题 #

你当前对每个detour单独跑Dijkstra的思路，时间复杂度和detour集合大小k直接绑定，为O(k*ElogW)，当detour数量较多时会远超题目要求的上限，不符合“复杂度不得包含与detour集合大小相关的项”的要求。

最优实现思路：分层图最短路建模 #

仅需一次Dijkstra即可得到结果，复杂度完全满足题目要求。

建模规则 #

我们把原问题转化为两层的状态图模型，每个单词对应两个不同状态的节点：

• 状态0：到达该单词时，还未经过任何detour集合中的单词
• 状态1：到达该单词时，已经经过至少一个detour集合中的单词

节点编号可以简单映射为：原单词索引为i，则状态0节点编号为i，状态1节点编号为i + W（W为单词总数），无需额外哈希映射。

边的构建规则如下：

1. 对于原单词图中每对相邻（仅单个位置字母不同）的单词u、v，边权为两者的字母距离：
   • 新增u（状态0）到v（状态0）的无向边，边权不变
   • 新增u（状态1）到v（状态1）的无向边，边权不变
2. 对于每个属于detour集合的单词d：
   • 新增d（状态0）到d（状态1）的有向边，边权为0
     这条边代表我们在单词d处满足了“经过至少一个detour”的约束，状态切换后就可以继续往终点行进。

求解步骤 #

1. 初始化距离数组，起点单词的状态0节点距离为0，其余所有节点距离为无穷大
2. 对整个分层图跑一次Dijkstra算法，计算单源最短路径
3. 最终要求的最短距离就是终点单词的状态1节点的最短距离
4. 路径恢复：跑Dijkstra时同步记录每个节点的前驱节点，从终点的状态1节点回溯，提取每个节点对应的原单词索引即可得到完整路径序列

复杂度验证 #

• 总节点数为2W，总边数为2E + D（D为detour集合大小），Dijkstra算法的时间复杂度为O((2E + D) log 2W) = O(E log W)，加上建图的预处理开销，刚好符合题目要求的O(E log W + W log W)复杂度
• 不管detour集合大小是多少，复杂度都不会引入和D相关的高阶项，完全满足题目约束

示例适配 #

你给出的参考示例中，路径走到detour单词12（bae）的状态0节点后，会通过0权边切换到状态1，之后继续走到终点1的状态1节点，和给出的结果路径完全匹配。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chaot1c