求解修改版单词阶梯问题中到目标节点集最优的起始节点方法

问题定义 #

我们需要从给定的等长单词列表中选出最优的first_word，使得它到所有desired_words的最短单词阶梯长度的最大值尽可能小，存在多个符合条件的单词时返回任意一个的索引即可。

示例：给定列表lst = ["aaa","aad","dad","daa","aca","acc","aab","abb"]构建无向图（两个单词仅一个字符不同则连边，边权为1），若desired_words为dad、abb、acc，最优起始词为aaa，返回索引0；若desired_words为aaa、aca、acc，最优起始词为aca，返回索引4。

算法思路 #

你之前想到的Jordan中心思路是完全正确的，本题本质是求针对desired_words节点子集的受限图中心，即到所有目标节点的最大最短距离最小的节点。具体实现步骤如下：

• 第一步：高效构建邻接表。用模式掩码法替代逐对单词比较，将每个单词的每个位置替换为通配符生成模式，同一模式下的所有单词两两仅一个字符不同，直接连边即可，大幅降低建图时间。
• 第二步：多轮BFS预处理最短距离。因所有边权为1，不需要用Dijkstra算法，直接用BFS求最短路径即可。且不需要对所有节点跑BFS，仅需要对数量更少的desired_words逐个跑BFS，记录每个节点到所有目标节点的最短距离，效率更高。
• 第三步：筛选最优节点。遍历所有节点，计算每个节点到所有目标节点的最大距离，选择最大距离最小的节点返回索引即可。

Python代码实现 #

from collections import defaultdict, deque

def find_optimal_start(word_list, desired_words):
    n = len(word_list)
    # 建立单词到索引的映射
    word_to_idx = {word: idx for idx, word in enumerate(word_list)}
    desired_idxs = [word_to_idx[w] for w in desired_words]
    word_len = len(word_list[0])
    
    # 步骤1：构建邻接表
    adj = [[] for _ in range(n)]
    pattern_map = defaultdict(list)
    for idx, word in enumerate(word_list):
        for i in range(word_len):
            # 生成每个位置替换为通配符的模式
            pattern = word[:i] + '*' + word[i+1:]
            pattern_map[pattern].append(idx)
    # 同模式下的单词两两连边
    for group in pattern_map.values():
        for i in range(len(group)):
            for j in range(i+1, len(group)):
                u, v = group[i], group[j]
                adj[u].append(v)
                adj[v].append(u)
    
    # 步骤2：预处理每个节点到所有目标节点的最短距离
    dist = [[float('inf')] * len(desired_idxs) for _ in range(n)]
    for d_pos, target_idx in enumerate(desired_idxs):
        q = deque([target_idx])
        dist[target_idx][d_pos] = 0
        while q:
            cur = q.popleft()
            for neighbor in adj[cur]:
                if dist[neighbor][d_pos] == float('inf'):
                    dist[neighbor][d_pos] = dist[cur][d_pos] + 1
                    q.append(neighbor)
    
    # 步骤3：找最大距离最小的节点
    min_max_dist = float('inf')
    best_idx = 0
    for i in range(n):
        current_max = max(dist[i])
        if current_max < min_max_dist:
            min_max_dist = current_max
            best_idx = i
    return best_idx

# 测试用例
if __name__ == "__main__":
    lst = ["aaa","aad","dad","daa","aca","acc","aab","abb"]
    # 测试1
    desired1 = ["dad", "abb", "acc"]
    print(find_optimal_start(lst, desired1))  # 输出 0
    # 测试2
    desired2 = ["aaa", "aca", "acc"]
    print(find_optimal_start(lst, desired2))  # 输出 4

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Python_learner