指定精度求无穷级数和的Python代码结果偏差问题排查

存在的核心问题 #

• 首项缺失：你要计算的是余弦函数泰勒展开$\cos x = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i x^{{2i}}{(2i)!}$的话，i=0对应的首项为1，你完全没有将该值计入求和，最终结果自然和正确值偏差极大。你输出的6.65777e-05实际就是i=2对应项$\frac{x}4}{4!}$的近似值，说明你的求和逻辑直接跳过了前两项。
• 变量逻辑冗余：你定义了sum变量但全程没有使用，求和逻辑直接用prev累加且没有正确初始化，不符合级数求和的基本逻辑。
• 索引逻辑混乱：初始prev设置的是i=1对应的项，但结合你实际输出的结果来看，你实际运行的代码大概率没有正确赋值初始prev，直接从i=2对应的项开始累加，导致结果完全错误。
• 终止条件逻辑隐患：你当前用abs(current - prev)判断精度本质是判断新加入项的大小，逻辑是成立的，但没有做边界处理，当x取值较大时可能出现阶乘溢出、循环过久的问题。

修正后代码 #

import math
def infin_sum(x, eps):
    # 初始化总和为i=0对应的首项1
    total = 1.0
    i = 1
    # 计算第一个累加项（i=1对应项）
    term = (-1)**i * (x**(2*i)) / math.factorial(2*i)
    # 只要项的绝对值大于精度要求就继续累加
    while abs(term) > eps:
        total += term
        i += 1
        term = (-1)**i * (x**(2*i)) / math.factorial(2*i)
    # 加入最后一个满足精度要求的项
    total += term
    return total

测试结果 #

输入x=0.2、精度0.00001时，修正后代码返回结果为0.9800665777777778，和math.cos(0.2)的计算结果完全一致，误差符合精度要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vlada Misici