2D场景下已知点、方向向量及圆参数求解射线与圆周交点方法

已知某点位于圆内部，如何计算该点沿指定方向向量运动后与圆周的交点？即已知圆心位置、半径、质点位置、运动速度向量，如何求解质点撞击圆周的具体坐标？

当前正在开发航班雷达系统，所有航班数据存储在队列中，需要根据航班飞出雷达半径范围的剩余时长对队列排序。求得交点坐标后，即可通过两点间距结合运动速度计算对应的剩余时长，场景示意图如下：

这是典型的二维射线与圆求交问题，因质点初始位置在圆内，只会存在1个沿运动方向的有效交点，推导过程如下：

已知参数定义 #

• 圆心坐标：$C(x_c, y_c)$
• 雷达半径：$R$
• 航班当前坐标：$P_0(x_0, y_0)$
• 航班速度向量：$\vec{v}(v_x, v_y)$（自带速率，无需单独拆分方向和速率）

公式推导 #

1. 航班沿速度向量运动$t$时间后的坐标可表示为：
   $P(t) = P_0 + t \times \vec{v}$，其中$t>0$
2. 交点满足圆周方程，即到圆心距离等于半径：
   $|P(t) - C|^2 = R^2$
3. 展开后可得关于$t$的一元二次方程：$a t^2 + b t + c = 0$，三个系数分别为：
   • $a = \vec{v} \cdot \vec{v} = v_x^2 + v_y^2$
   • $b = 2 \times [\vec{v} \cdot (P_0 - C)] = 2 \times (v_x(x_0 - x_c) + v_y(y_0 - y_c))$
   • $c = |P_0 - C|^2 - R^2 = (x_0 - x_c)^2 + (y_0 - y_c)^2 - R^2$
4. 因航班初始位置在圆内，故$c<0$，方程必然存在一个正根和一个负根，负根对应反方向的无效交点，取正根即可：
   $t = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
5. 将$t$代入坐标公式即可得到交点坐标，同时$t$就是航班飞出雷达范围的剩余时长，可直接用于队列排序，无需额外计算距离换算时间。

import math

def calc_flight_exit_info(radar_center: tuple[float, float], 
                          radar_radius: float, 
                          plane_pos: tuple[float, float], 
                          plane_velocity: tuple[float, float]) -> tuple[float, tuple[float, float]]:
    """
    计算航班飞出雷达范围的剩余时长和交点坐标
    :param radar_center: 雷达圆心坐标 (x, y)
    :param radar_radius: 雷达覆盖半径
    :param plane_pos: 航班当前坐标 (x, y)
    :param plane_velocity: 航班速度向量 (vx, vy)
    :return: 剩余时长t, 交点坐标(intersect_x, intersect_y)
    """
    dx0 = plane_pos[0] - radar_center[0]
    dy0 = plane_pos[1] - radar_center[1]
    
    a = plane_velocity[0] ** 2 + plane_velocity[1] ** 2
    b = 2 * (plane_velocity[0] * dx0 + plane_velocity[1] * dy0)
    c = dx0 ** 2 + dy0 ** 2 - radar_radius ** 2
    
    discriminant = b ** 2 - 4 * a * c
    sqrt_discriminant = math.sqrt(discriminant)
    
    # 取正根得到剩余时长
    exit_time = (-b + sqrt_discriminant) / (2 * a)
    # 计算交点坐标
    intersect_x = plane_pos[0] + exit_time * plane_velocity[0]
    intersect_y = plane_pos[1] + exit_time * plane_velocity[1]
    
    return exit_time, (intersect_x, intersect_y)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Olav Ausland