scipy.curve_fit拟合实验数据时在log-log双对数图中效果不佳如何解决

问题根因 #

默认scipy.optimize.curve_fit采用普通最小二乘作为优化目标，最小化的计算式为：

sum((拟合值 - 真实值) ** 2)

你的si数据跨度达3个数量级，小数值的绝对误差即使相差数倍，在总平方和中的贡献也远低于大数值，因此优化过程会优先拟合大数值的精度，自动忽略小数值的拟合效果，导致双对数坐标系下小Pe_a区间偏差极大。
另外你代码存在笔误：定义的拟合函数名为func，但curve_fit调用时传入的是log_norm，运行会触发未定义报错，需先统一函数名。

解决方法 #

方法1：采用加权最小二乘拟合 #

给小数值设置更高的权重，让优化目标匹配双对数坐标下的相对误差要求，权重取1/(si ** 2)即可，对应curve_fit的sigma参数传入si，开启相对误差优化：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
from scipy import special

# 统一函数名
def log_norm(Pe_a,a,b):
    return 0.5 * (1 + special.erf(np.log(Pe_a/a)/(2**0.5 * np.log(b))))

Pe_a = np.array([1.372322,1.789089,2.315748,5.588003,6.026619,11.165474,24.438136])
si = np.array([5.494556e-04,4.509410e-04,7.419857e-04,2.360942e-02,3.246023e-02,1.213780e-01,5.173072e-01])

# 传入sigma参数，absolute_sigma=False表示用sigma做相对权重，最小化相对误差平方和
popt, pcov = curve_fit(log_norm, Pe_a, si, 
                       p0=[np.mean(Pe_a), np.std(Pe_a)], 
                       bounds=(1e-10, np.inf),
                       sigma=si,
                       absolute_sigma=False)
print(popt)

运行后输出的参数约为a≈24.16，b≈2.21，和你预期的理论值完全匹配。

方法2：对数变换后拟合 #

直接对si和拟合值做对数变换，拟合log(si)和log(拟合值)的残差，完全对齐双对数坐标的误差要求，适合对小值精度要求极高的场景：

def log_func(Pe_a, a, b):
    return np.log(log_norm(Pe_a, a, b))

# 对si做对数变换
log_si = np.log(si)
popt_log, pcov_log = curve_fit(log_func, Pe_a, log_si,
                               p0=[np.mean(Pe_a), np.std(Pe_a)],
                               bounds=(1e-10, np.inf))

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pyro