如何在Python中对低秩矩阵执行SVD分解？

numpy自带的numpy.linalg.svd默认执行全秩分解，会返回所有奇异值及对应的正交矩阵，对于秩仅为10的80*50矩阵来说存在大量计算冗余，不符合低秩场景的使用需求，不需要完全自行手写SVD实现，有现成的优化方案可以直接使用：

• 方案一：使用scipy优化的截断SVD接口（推荐，低秩场景效率最高）
  scipy.sparse.linalg.svds专门针对低秩、稀疏矩阵场景设计，可以直接指定返回前k个最大奇异值的分解结果，示例代码如下：

  import numpy as np
  from scipy.sparse.linalg import svds
  
  # 替换为你的实际矩阵
  mat = np.random.rand(80, 50)
  # k设置为矩阵的秩10
  k = 10
  u, s, vt = svds(mat, k=k)
  
  # svds默认返回升序排列的奇异值，如需和numpy svd一致的降序结果，执行以下重排
  s = s[::-1]
  u = u[:, ::-1]
  vt = vt[::-1, :]
  

  该方案计算复杂度远低于全秩SVD，尤其适合矩阵尺寸大、秩远小于矩阵尺寸的场景。

• 方案二：基于numpy原生svd做截断（适合无法安装scipy的场景）
  你的矩阵尺寸很小，就算全秩分解开销也不大，可以直接取numpy svd结果的前k项即可：

  import numpy as np
  
  mat = np.random.rand(80, 50)
  u, s, vt = np.linalg.svd(mat, full_matrices=False)
  # 截断前10个最大奇异值对应的结果
  k = 10
  u = u[:, :k]
  s = s[:k]
  vt = vt[:k, :]
  

你提到的SAD运算可以基于上述截断SVD的结果重构低秩矩阵后计算，也可以利用奇异值的特性直接计算，不需要重构完整矩阵。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Madi