如何在Matlab中求解正切、负余切函数与圆形三个图像的全部交点

核心逻辑 #

首先先通过代数推导确定交点分类：

• 联立正切函数y = tan(x)与负余切函数y = -cot(x)，推导可得sin²x + cos²x = 0，实数域下无实根，因此二者不存在交点，也不存在同时落在三条曲线上的公共点
• 仅需分别求解正切函数与圆的交点、负余切函数与圆的交点两类即可

可直接运行的Matlab代码 #

% 定义交点零值方程
eq_tan_circle = @(x) x.^2 + tan(x).^2 - 16; % 正切与圆交点：x² + tan²x = 16
eq_cot_circle = @(x) x.^2 + cot(x).^2 - 16; % 负余切与圆交点：x² + cot²x = 16

% ---------------- 搜索正切与圆的所有交点 ----------------
% 按正切奇点（pi/2 + k*pi）拆分搜索区间，加小偏移避开奇点
tan_intervals = [
    -5*pi/2, -2*pi - 1e-3;
    -2*pi + 1e-3, -3*pi/2 - 1e-3;
    -3*pi/2 + 1e-3, -pi - 1e-3;
    -pi + 1e-3, -pi/2 - 1e-3;
    -pi/2 + 1e-3, -1e-3;
    1e-3, pi/2 - 1e-3;
    pi/2 + 1e-3, pi - 1e-3;
    pi + 1e-3, 3*pi/2 - 1e-3;
    3*pi/2 + 1e-3, 2*pi - 1e-3;
    2*pi + 1e-3, 5*pi/2
];
tan_points = [];
for i = 1:size(tan_intervals,1)
    a = tan_intervals(i,1);
    b = tan_intervals(i,2);
    % 区间两端符号相反说明存在根，调用fzero求解
    if sign(eq_tan_circle(a)) ~= sign(eq_tan_circle(b))
        x_root = fzero(eq_tan_circle, [a,b]);
        tan_points = [tan_points; x_root, tan(x_root)];
    end
end

% ---------------- 搜索负余切与圆的所有交点 ----------------
% 按负余切奇点（k*pi）拆分搜索区间，加小偏移避开奇点
cot_intervals = [
    -3*pi + 1e-3, -2*pi - 1e-3;
    -2*pi + 1e-3, -pi - 1e-3;
    -pi + 1e-3, -1e-3;
    1e-3, pi - 1e-3;
    pi + 1e-3, 2*pi - 1e-3;
    2*pi + 1e-3, 3*pi - 1e-3
];
cot_points = [];
for i = 1:size(cot_intervals,1)
    a = cot_intervals(i,1);
    b = cot_intervals(i,2);
    if sign(eq_cot_circle(a)) ~= sign(eq_cot_circle(b))
        x_root = fzero(eq_cot_circle, [a,b]);
        cot_points = [cot_points; x_root, -cot(x_root)];
    end
end

% ---------------- 输出结果 + 可视化验证 ----------------
disp('正切函数与圆的交点坐标（x,y）：')
disp(tan_points)
disp('负余切函数与圆的交点坐标（x,y）：')
disp(cot_points)

% 原有绘图代码保留，新增交点绘制
hold on
scatter(tan_points(:,1), tan_points(:,2), 60, 'red', 'filled', 'DisplayName','正切-圆交点')
scatter(cot_points(:,1), cot_points(:,2), 60, 'green', 'filled', 'DisplayName','负余切-圆交点')
legend('Location','best')

注意说明 #

• 区间里加的1e-3偏移是为了避开三角函数的奇点，防止求解报错，需要更高精度可以把偏移值改到1e-6
• 如果需要过滤重复交点，可以对结果坐标加去重逻辑
• 求解得到的tan_points和cot_points就是所有交点的坐标，可直接调用做后续计算

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jungle Zee