如何将给定二阶常微分方程组改写为一阶向量方程

操作误区说明 #

你提前对两个二阶方程做消元得到的 $x_{1}^{''}+3x_{2}{''}-x_2=0$ 是原方程组的线性组合，本身丢失了部分原始约束，没法直接单独用来降阶得到完整的一阶向量方程，更推荐直接对原方程组做状态扩维处理，步骤如下： #

标准降阶步骤（直接处理原方程组） #

原方程组是2个二阶微分方程，总阶数为4，因此需要定义4维的状态向量，步骤如下：

• 第一步：定义状态变量
  令状态向量的4个分量分别为：
  $y_1 = x_1$，$y_2 = x_1'$，$y_3 = x_2$，$y_4 = x_2'$
• 第二步：推导每个状态变量的一阶导数表达式
  1. $y_1' = x_1' = y_2$
  2. 从原第一个方程 $x_1'' -3x_1 -4x_2=0$ 可得 $y_2' = x_1'' = 3x_1 +4x_2 = 3y_1 +4y_3$
  3. $y_3' = x_2' = y_4$
  4. 从原第二个方程 $x_2'' +x_1 +x_2=0$ 可得 $y_4' = x_2'' = -x_1 -x_2 = -y_1 -y_3$
• 第三步：整理为一阶向量方程
  最终可以写成标准的线性一阶向量微分方程形式：
  $$\boldsymbol{y}' = A\boldsymbol{y}$$
  其中状态向量 $\boldsymbol{y} = \begin{pmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 \ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \ x_1' \ x_2 \ x_2' \end{pmatrix}$，系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ 3 & 0 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ -1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

从消元后式子的处理方法 #

需要先把消元丢失的约束补回来：
把原方程组第一个式子的 $x_1'' = 3x_1 +4x_2$ 代入你得到的消元式，可还原出 $x_2'' = -x_1 -x_2$，和原第二个方程一致，后续还是需要按照上面的状态扩维步骤处理，本质和直接处理原方程组没有区别。

提示：对高阶微分方程组降阶的通用逻辑是，有n个m阶微分方程，就定义n*m维状态向量，分别对应每个未知量的0阶到m-1阶导数，再代入原方程把最高阶导数用低阶状态变量表示即可，不需要提前做消元操作。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者yyy