如何生成第i分量方差为1/i的d维n个零期望高斯样本矩阵

零均值独立高斯变量的方差可以通过缩放调整：若X服从标准正态分布（均值0、方差1），那么a*X服从均值0、方差为a²的正态分布。你要求第i个分量的方差为1/i，因此只需要将对应维度的标准正态样本乘以1/√i即可，逐分量缩放不会破坏变量间的独立性，完全符合你的需求。

• 使用rng.standard_normal(size=(n, d))生成形状为(n,d)的标准正态样本矩阵，此时所有分量均为独立的标准正态分布
• 生成长度为d的缩放系数数组，1-based索引的第i个位置对应值为1/√i，Python中可以用1 / np.sqrt(np.arange(1, d+1))直接生成
• 利用numpy的广播机制，将标准正态矩阵和缩放系数数组直接相乘，即可自动按列完成缩放
• 返回最终的样本矩阵即可

import numpy as np

def generate_gaussian_samples(n: int, d: int, seed: int = None):
    # 初始化随机数生成器，指定seed可固定结果方便复现
    rng = np.random.default_rng(seed)
    # 生成标准正态样本
    std_samples = rng.standard_normal(size=(n, d))
    # 生成各维度缩放系数
    scale_arr = 1 / np.sqrt(np.arange(1, d + 1, dtype=np.float64))
    # 按列缩放得到目标样本
    return std_samples * scale_arr

你可以用以下代码验证生成的样本是否符合要求：

# 生成10万样本、5维测试，样本量越大统计结果越接近理论值
test_samples = generate_gaussian_samples(n=100000, d=5, seed=42)
print("各维度均值（理论值全为0）：", test_samples.mean(axis=0).round(4))
print("各维度方差（理论值为1, 0.5, 0.3333, 0.25, 0.2）：", test_samples.var(axis=0).round(4))

内容的提问来源于stack exchange，提问作者coolcool