基于R函数pchip()的三次样条外推可行性及实现方法问询

1. 三次样条是否适合外推场景 #

三次样条理论上支持数值外推，但本身确实不属于适合外推的算法。
三次样条的拟合约束仅作用于已知采样点区间[min(xi), max(xi)]内部，区间外没有任何采样点作为趋势约束，外推结果完全由区间边缘少量采样点的导数特性决定，很容易出现无意义的大幅震荡，和真实函数趋势偏离严重。R语言pchip文档提到的区间外结果参考价值较低，本质就是插值类算法外推的共性缺陷，三次样条的问题比pchip更突出——pchip本身保单调性，边界外的偏差还会小一些，普通三次样条的外推结果可靠性更低。

2. 无需线性外推的三次样条外推实现方案 #

目前有三种成熟的非线外推实现逻辑，可根据场景选择：

• 非节点边界（not-a-knot）约束外推：要求边界处第一个、第二个分段样条的三阶导数连续，不需要额外指定边界导数，直接延伸边界处的三次多项式作为外推结果，是绝大多数数值计算库三次样条默认的外推实现，适合采样点密度高、边界趋势平稳的场景。
• 自定义边界导数约束外推：如果已知待拟合函数在区间边界处的一阶/二阶导数值，可将其作为固定约束传入样条拟合过程，外推时的趋势会严格贴合指定的导数变化规律，可靠性远高于无约束外推。
• 平滑三次样条外推：拟合时加入正则项降低对边缘采样点噪声的敏感度，外推的震荡幅度会远小于普通插值三次样条，适合采样点带噪声的场景。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者userLx