已知3个3D点变换前后坐标 求解未知测试点变换后坐标的方法

保形变换在3D空间中对应相似变换，数学表达式为：
P' = s · R · P + T
其中：

• s 为统一缩放系数（标量）
• R 为3×3正交旋转矩阵（满足R^T R = I，行列式为1）
• T 为3×1平移向量
  3个不共线的参考点可唯一确定上述所有变换参数，最优求解方法为Umeyama算法，是最小二乘意义下的无偏估计，抗噪声稳定性远高于手动解线性方程组。

具体求解步骤 #

• 第一步：计算两组参考点的质心
  设初始参考点集合为$P = {p_1, p_2, p_3}$，变换后参考点集合为$P' = {p_1', p_2', p_3'}$，分别计算质心：

  μ_p = (p_1 + p_2 + p_3) / 3
  μ_p' = (p_1' + p_2' + p_3') / 3
  

  对所有点做去中心化处理，消去平移项影响：

  q_i = p_i - μ_p,  i=1,2,3
  q_i' = p_i' - μ_p', i=1,2,3
  

• 第二步：构造协方差矩阵并做SVD分解
  计算协方差矩阵：
  H = sum_{i=1到3} (q_i · q_i'^T)
  对H做奇异值分解得到 H = U · Σ · V^T
• 第三步：求解旋转矩阵R

  R = V · U^T
  

  若det(R) < 0，说明得到的是反射矩阵，将V的最后一列乘以-1后重新计算R即可。
• 第四步：求解缩放系数s
  s = (trace(Σ)) / sum_{i=1到3} (q_i^T · q_i)
• 第五步：求解平移向量T
  T = μ_p' - s · R · μ_p
• 第六步：代入测试点计算变换后坐标
  初始测试点为$p_t$，变换后坐标为：
  p_t' = s · R · p_t + T

示例数据适配说明 #

你给出的3组参考点不存在共线奇异性，代入上述步骤计算即可得到唯一的变换参数，最终求得测试点变换后的坐标。如果需要简化计算，也可以直接用开源数值计算库（如numpy、Eigen）中内置的SVD接口实现上述逻辑，不需要手动推导方程组。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者IdanVT