我的trapezoid rule（梯形法则）实现为何未得到预期结果？

我实现了一个用于计算给定函数梯形法则结果的函数，该函数在计算以下函数时结果偏差较大：
$f(x) = \log_2(x)$
当我使用n < 8的参数计算梯形法则结果时，输出值远大于实际面积，这不符合我的预期：我已经绘制了f(x)的图像并模拟了少量梯形的划分情况，理论上计算结果应该小于目标面积才对。
不过随着n取值增大，误差逐渐降低，当n = 10000000时，结果与实际值的偏差在0.001以内。
原实现代码如下：

private interface MathFunc {
    double apply(double value);
}
private static final double A = 1;
private static final double B = 9;
public static void main(String args[]) {
    MathFunc func = (x) -> Math.log(x) / Math.log(2);
    double realValue = 16.98776493946568;
    for(int i = 1; i <= 8; i*=2) {
        double value = trapezoidRule(A, B, func, i);
        System.out.println(i + " Trapezoid Summation for f(x): " + value);
        double absError = Math.abs(value - realValue);
        System.out.println("Abs Error: " + absError);
        System.out.println("% Error: " + (absError/realValue)*100);
        System.out.println();
    }
}
static double trapezoidRule(double a, double b, MathFunc f, double n) {
    double deltaX = (b-a)/n;
    double i = 0;
    double sum = 0.0;
    while( i++ <= n ) {
        if(i == 0 || i == n) {
            sum += f.apply(a + (i*deltaX));
        } else {
            sum += 2 * f.apply(a + (i*deltaX));
        }
    }
    return (deltaX * sum) / 2.0;
}

问题原因 #

• 循环控制逻辑错误：使用后置自增i++ <= n作为循环判断条件，进入循环体时的i值已经完成自增，不仅i == 0的条件永远无法命中，左端点函数值被错误按照中间点规则计入2次，还会多执行一次循环，额外计算了超出区间上限的函数值，直接拉高了求和结果
• 索引范围不符合算法要求：标准梯形法则需要计算的点索引范围是0到n，仅两端点按原值累加，中间点按2倍值累加，错误实现中实际计算的点索引是1到n+1，完全不符合算法要求
• 当n取值很大时，额外多算的一个点和左端点的系数误差占总求和的比例被稀释，因此误差会逐渐收敛到合理范围，和你观测到的现象一致

修正后的实现 #

static double trapezoidRule(double a, double b, MathFunc f, double n) {
    double deltaX = (b - a) / n;
    // 先单独累加两个端点的函数值
    double sum = f.apply(a) + f.apply(b);
    // 遍历所有中间点，按2倍值累加
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        sum += 2 * f.apply(a + i * deltaX);
    }
    return sum * deltaX / 2.0;
}

修正后小n值的计算结果就会符合预期，误差特性也会和梯形法则的理论收敛性匹配。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rawley Fowler