为何R代码中1加2^(-52)结果为1，2^(-52)加2^(-53)不为0？

双精度浮点数运算原理说明 #

我们日常使用的R默认采用IEEE 754标准的双精度浮点数存储数值，这种格式的有效精度为53个二进制位（1位隐含前导1 + 52位显式存储的尾数位），只能精确表示可以写成k * 2^n（k为小于2^53的整数，n为整数）的数值，其余数值都需要经过舍入才能存储。

为什么1 + 2^(-52)的运行结果为1 #

首先要明确双精度浮点数的加法执行流程：

1. 对阶：将指数更小的数的尾数右移，直到两个数的指数保持一致，右移过程中超出尾数位的内容会暂时存在保护位中参与计算
2. 尾数相加
3. 结果舍入到符合双精度精度要求的可表示值

1的指数是0，2^(-52)的指数是-52，对阶时需要把后者的尾数右移52位，刚好落在尾数的最低有效位上。如果相加后得到的结果是1，通常是两种原因：

• 打印精度限制：R默认只展示前15位有效十进制数，1 + 2^(-52)的实际值为1.0000000000000002，如果执行print(1 + 2^(-52), digits = 16)就能看到完整的非1结果
• 如果确实运算后等于1，一般是触发了就近舍入到偶数的默认规则：比如如果加的是2^(-53)，相加后的结果刚好落在1和1+2^(-52)两个可表示值的中点，就会舍入到偶数的那个值，也就是1。

为什么2^(-52) + 2^(-53)不会返回0 #

这两个数的量级非常接近，指数仅差1：2^(-52)的指数是-52，2^(-53)的指数是-53，对阶时只需要把后者的尾数右移1位，完全在53位有效精度的覆盖范围内，没有任何精度丢失。
相加后的结果是3 * 2^(-53)，刚好属于双精度可以精确表示的数值，自然不会返回0。
和第一个案例的核心差异是：两个相加的数量级差很小，对阶不会导致有效位被移出精度范围，也就不会触发丢失数值的舍入。

浮点数舍入的发生时机 #

舍入操作只会发生在单步运算结束后，将结果存储为对应精度的浮点数时：

• 所有基础运算（加减乘除、开方、求余等）的执行过程中，都会用额外的保护位、粘滞位暂存超出精度范围的中间结果，不会在运算中途丢精度
• 单步运算的中间结果计算完成后，才会按照预设的舍入规则（默认是就近舍入到偶数），将中间值舍入为当前精度可表示的浮点数，再写入内存或寄存器。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user16461886