如何让Isabelle应用基础数学规则完成树计数定理证明

类型错误原因 #

你在编写引理时使用了(x:nat)的写法，Isabelle中单冒号:是集合隶属运算符，变量类型标注必须使用双冒号::。系统会将你写的x:nat误解析为x ∈ nat，但nat是类型而非集合，所以触发了类型不匹配报错。
如果要自定义该引理，正确写法如下，不过这个规则已经内置在标准算术库中，不需要自行定义：

lemma double_add: "(x::nat) + x = 2 * x"
  by simp

定理证明最优方案 #

你的证明在auto步骤后剩余的是纯自然数算术等价目标，直接调用内置算术自动证明方法arith即可完成证明，修改后的定理代码：

theorem tree_count: "nodes (explode h l) = 2^h + 2^h * (nodes l) - 1"
  apply(induction h arbitrary: l)
  apply(auto simp add: numeral_eq_Suc)
  apply(arith)
done

也可以将代数化简规则加入simp集，一步完成：

theorem tree_count: "nodes (explode h l) = 2^h + 2^h * (nodes l) - 1"
  apply(induction h arbitrary: l)
  apply(auto simp add: numeral_eq_Suc algebra_simps)
done

内容的提问来源于stack exchange，提问作者waldelb