Haskell的Monad定律如何从自函子范畴的Monoid定律推导而来？

自函子范畴上的Monoid定律对应交换图如下：

对应的代数表达式为：

• 结合律：join (join x) = join (fmap join x)
• 左单位律：join (return x) = x
• 右单位律：join (fmap return x) = x

前置约定 #

我们默认以下基础关系成立：

1. Haskell中Monad的绑定操作>>=可通过函子映射fmap和自函子乘法join等价定义：m >>= k = join (fmap k m)
2. 所有讨论的实例满足函子定律与自然变换的基本性质

左单位律等价推导 #

Haskell Monad左单位律：return a >>= k = k a

1. 按>>=定义展开左侧：return a >>= k = join (fmap k (return a))
2. 根据自然变换性质，fmap f (return x) = return (f x)，代入得：join (return (k a))
3. 应用范畴论左单位律join (return x) = x，直接化简为k a，与右侧完全相等

右单位律等价推导 #

Haskell Monad右单位律：m >>= return = m

1. 按>>=定义展开左侧：m >>= return = join (fmap return m)
2. 直接对应范畴论右单位律join (fmap return x) = x，代入x=m即可得结果m，与右侧完全相等

结合律等价推导 #

Haskell Monad结合律：m >>= (\x -> k x >>= h) = (m >>= k) >>= h

化简左侧 #

1. 展开外层>>=：join (fmap (\x -> k x >>= h) m)
2. 展开内层>>=：join (fmap (\x -> join (fmap h (k x))) m)
3. 按函子复合性质拆分fmap：join (fmap join (fmap (fmap h . k) m))
4. 应用范畴论结合律join (fmap join x) = join (join x)，代入得：join (join (fmap (fmap h . k) m))

化简右侧 #

1. 展开外层>>=：join (fmap h (m >>= k))
2. 展开内层>>=：join (fmap h (join (fmap k m)))
3. 应用join的自然变换性质fmap f . join = join . fmap (fmap f)，代入得：join (join (fmap (fmap h) (fmap k m)))
4. 按函子复合性质合并fmap：join (join (fmap (fmap h . k) m))

左右两侧化简结果完全一致，结合律等价。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ziyang Liu