三维空间轴对齐立方体相交判断及交集体积计算方法问询

首先明确前提：你描述的无旋转、边与坐标轴完全平行的立方体属于轴对齐包围盒（AABB），相关计算可以基于分离轴定理实现，逻辑简单且运算效率极高。

1. 相交判断逻辑 #

核心原理 #

两个凸多面体不相交的充要条件是：存在某一个方向的轴，两个多面体在该轴上的投影完全无重叠。对于轴对齐立方体而言，仅需要检查三个坐标轴方向即可，无需验证其他方向。

具体步骤 #

1. 先计算每个立方体在三个坐标轴上的取值范围：
   对任意立方体，设中心点坐标为(x_c, y_c, z_c)，边长为s_c，则各轴范围为：
   • x轴：[x_c - s_c/2, x_c + s_c/2]
   • y轴：[y_c - s_c/2, y_c + s_c/2]
   • z轴：[z_c - s_c/2, z_c + s_c/2]
2. 对两个立方体A、B的三个轴投影逐一判断是否重叠：
   以x轴为例，设A的x范围是[x_a_min, x_a_max]，B的x范围是[x_b_min, x_b_max]，x轴投影重叠的判断条件为：
   x_a_min < x_b_max 且 x_b_min < x_a_max
   （如果边界接触算相交的场景，可将<替换为≤，此时交集体积为0）
3. 只有三个坐标轴的投影都存在重叠时，两个立方体才相交；任意一个轴投影无重叠，二者就不相交。

2. 交集体积计算公式 #

确认相交后，重叠区域本身也是一个轴对齐立方体，按以下步骤计算体积：

1. 计算重叠区域在各轴的范围：
   • 重叠区x范围：[max(x_a_min, x_b_min), min(x_a_max, x_b_max)]
   • 重叠区y范围：[max(y_a_min, y_b_min), min(y_a_max, y_b_max)]
   • 重叠区z范围：[max(z_a_min, z_b_min), min(z_a_max, z_b_max)]
2. 计算重叠区在各轴的长度：
   • dx = min(x_a_max, x_b_max) - max(x_a_min, x_b_min)
   • dy = min(y_a_max, y_b_max) - max(y_a_min, y_b_min)
   • dz = min(z_a_max, z_b_max) - max(z_a_min, z_b_min)
3. 交集体积 = dx * dy * dz

3. 示例验证 #

用你给出的示例代入计算：

• 立方体A：边长5m，中心(10,10,0)，各轴范围：
  x：[10-2.5, 10+2.5] = [7.5, 12.5]
  y：[7.5, 12.5]
  z：[-2.5, 2.5]
• 立方体B：边长2m，中心(9,9,0)，各轴范围：
  x：[9-1, 9+1] = [8, 10]
  y：[8, 10]
  z：[-1, 1]
  首先判断相交：三个轴投影都重叠，确认相交。
  计算重叠长度：
  dx = 10 - 8 = 2m，dy=10-8=2m，dz=1 - (-1)=2m
  体积=222=8.0 m³，和示例结果完全一致。

4. 推导原理说明 #

轴对齐立方体的所有面都与坐标轴平行，因此所有可能导致两个立方体分离的方向只有三个坐标轴，不需要验证其他斜向的分离轴，这也是该算法效率极高的核心原因。如果是带旋转的立方体，就需要额外检查更多方向的分离轴，计算复杂度会大幅上升。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Prameela