线性模型加权拟合与GLM过原点拟合技术问询

问题1：为什么观测数更少的B点更靠近拟合直线？ #

你的加权代码完全没问题，这是加权最小二乘（WLS）的正常表现。

加权最小二乘的核心目标是最小化加权残差平方和：
$$\sum w_i (y_i - \hat{y}_i)^2$$
其中$w_i$是每个数据点的权重（这里就是你设置的tot_obsv）。

我们拆解下你的模型细节：

• 点A的权重是28（13+15），点B的权重是14（3+11）
• 拟合得到的系数$\beta \approx 4.32 \times 10^{-5}$，因此：
  • 点A的拟合值：$300 \times 4.32e-5 \approx 0.013$，残差绝对值≈0.451
  • 点B的拟合值：$6000 \times 4.32e-5 \approx 0.259$，残差绝对值≈0.045

虽然点B的残差绝对值更小（看起来更靠近直线），但它的权重只有点A的一半，所以它在加权平方和中的贡献远远小于点A：

• 点A的加权残差平方：$28 \times (0.451)^2 \approx 5.70$
• 点B的加权残差平方：$14 \times (0.045)^2 \approx 0.028$

模型会优先让权重大的点（A）的加权拟合误差尽可能小，权重小的点（B）即使绝对残差小，对整体目标的影响也微乎其微，这完全符合加权模型的设计逻辑。

问题2：如何让logit链接的GLM强制过原点？ #

首先要明确一个关键限制：logit链接的GLM无法直接让曲线过(0,0)（即浓度为0时死亡概率为0）。因为logit(p) = $\log(\frac{p}{1-p})$，当p=0时，logit(p)是负无穷，无法通过线性预测项$\beta \times conc$在conc=0时得到负无穷。

下面分两种场景解决你的问题：

场景1：仅需GLM无截距项（线性预测项无常数项） #

如果你只是想去掉模型的截距项（即logit(p) = $\beta \times conc$），那你的初始代码是正确的：

M_glm <- glm(cbind(nr_dead, nr_surv) ~ 0 + conc, data = M, family = "binomial")

此时当conc=0时，logit(p)=0 → p=0.5，这是logit链接下无截距模型的必然结果，并非代码错误。

场景2：正确绘制无截距GLM的预测曲线 #

你的绘图代码存在冗余（提前predict后再用geom_smooth拟合），可以简化为以下两种更清晰的方式：

方式1：提前预测后用geom_line绘制

# 生成预测用的浓度序列
x_pred <- seq(0, 7000, length.out = 100)
# 预测死亡概率
y_pred <- predict(M_glm, newdata = list(conc = x_pred), type = "response")

# 绘图
library(ggplot2)
ggplot(M, aes(x = conc, y = rate)) +
  geom_point(aes(size = tot_obsv), pch = 16) +
  # 添加预测曲线
  geom_line(data = data.frame(conc = x_pred, rate = y_pred),
            aes(x = conc, y = rate), color = "blue", linewidth = 2) +
  xlab("concentration") +
  ylab("death rate") +
  ylim(0, 0.5) +
  theme_bw()

方式2：直接用geom_smooth拟合无截距GLM

不需要提前拟合模型，让geom_smooth直接拟合无截距的二项GLM：

library(ggplot2)
ggplot(M, aes(x = conc, y = rate)) +
  geom_point(aes(size = tot_obsv), pch = 16) +
  geom_smooth(method = "glm",
              method.args = list(family = "binomial", formula = y ~ 0 + x),
              color = "blue", linewidth = 2) +
  xlab("concentration") +
  ylab("death rate") +
  ylim(0, 0.5) +
  theme_bw()

这里要注意method.args中的formula = y ~ 0 + x，其中x和y对应ggplot aes里的变量（即conc和rate），确保拟合的是无截距模型。

补充：如果一定要让曲线过(0,0) #

如前所述，logit链接无法实现这个需求，你可以考虑以下替代方案：

• 使用其他链接函数（比如log链接），但此时conc=0时p=1，仍不符合需求；
• 自定义链接函数或使用非GLM模型（比如$p = \frac{\beta \times conc}{1 + \beta \times conc}$），但这类模型需要手动拟合，且对二项数据的适配性不如GLM；
• 重新审视需求：通常浓度为0时死亡概率不会严格为0，logit链接无截距模型的p=0.5可能不符合实际，但这是模型的数学特性决定的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lumi