仅使用有符号int运算的自定义sine函数出现±1偏移错误问题

• 核心原因是有符号整数除法的截断方向偏差：C++标准规定有符号整数除法向0截断，你在泰勒展开项的连续乘除计算中，负数区间的除法每次都会多截断掉一部分值，误差累积后当s≥0.9时，缩放后的k=900刚好让累积误差跨过±1的阈值，就会出现固定间隔的±1偏移跳变。
• 次要原因是常量缩放的精度丢失：你当前写死s=0.9，pi=314159*0.9/100的浮点结果为2827.431，直接转整数截断为2827，tau同理截断为5654，这部分系统误差和泰勒展开的截断误差叠加，刚好在每间隔约1弧度的位置触发错误。
• 隐藏原因是32位整数溢出：p的最大取值约为2827，计算a7项时需要连续乘6次p，2827^{6远大于32位有符号int的最大值（2}31-1≈21亿），溢出后的有符号整数属于未定义行为，会进一步放大结果偏差。

1. 替换所有整数除法为四舍五入实现：将直接/操作替换为带四舍五入的整数除法，避免向0截断带来的累积误差，实现逻辑为：

long long round_div(long long a, long long b) {
    return (a >= 0 ? (a + b / 2) : (a - b / 2)) / b;
}

2. 中间计算改用64位整数：将a3/a5/a7的类型改为long long，避免乘法溢出。
3. 优化pi/tau的缩放逻辑：用纯整数运算实现缩放，避免浮点转整数的截断误差。

long long round_div(long long a, long long b) {
    return (a >= 0 ? (a + b / 2) : (a - b / 2)) / b;
}

int sin(int x, int s1, int s2)
{
  long long p = x;
  long long pi = 314159;
  long long k = 1000;
  long long tau = 628318;
  const long long six = 6;
  const long long oneHundredTwenty = 120;
  const long long fiveThousandFourty = 5040;
  long long ans;
  long long a3;
  long long a5;
  long long a7;
  const int s = 90; // 用整数缩放代替浮点0.9，避免精度损失

  pi = round_div(pi * s, 10000);
  tau = round_div(tau * s, 10000);
  k = round_div(k * s, 100);

  p %= tau;
  p -= pi;

  a3 = p;
  a5 = p;
  a7 = p;

  ans = p;

  a3 = round_div(a3 * p, k);
  a3 = round_div(a3 * p, k);
  a3 = round_div(a3, six);

  a5 = round_div(a5 * p, k);
  a5 = round_div(a5 * p, k);
  a5 = round_div(a5 * p, k);
  a5 = round_div(a5 * p, k);
  a5 = round_div(a5, oneHundredTwenty);

  a7 = round_div(a7 * p, k);
  a7 = round_div(a7 * p, k);
  a7 = round_div(a7 * p, k);
  a7 = round_div(a7 * p, k);
  a7 = round_div(a7 * p, k);
  a7 = round_div(a7 * p, k);
  a7 = round_div(a7, fiveThousandFourty);

  ans -= a3;
  ans += a5;
  ans -= a7;

  return 30 + round_div(ans, 33);
}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RawSteak0