Cubature计算热平均积分极端参数下与解析结果偏差问题

• 核心原因：无穷积分的变量变换导致核心贡献区完全未被采样
  你采用的k = t/(1-t)变换将原积分区间k∈[0,∞)映射到t∈[0,1)，极端参数下M=1e12、T≈7e17，M/T仅为1.4e-6，属于典型高温极限，积分的99%以上贡献来自k~T≈7e17的区域，对应变换后的t≈1-1.4e-18，无限接近区间右端点1。而Cubature默认的自适应采样逻辑只会在被积函数变化剧烈的区域加密，你设置的1e-4相对误差限下，算法会把全部采样点放在t远离1的区域，完全没有覆盖到贡献最大的近端点区间，直接导致积分结果严重偏小。
• 次要原因1：变量变换的权重放大了采样缺失误差
  无穷区间变换引入的雅可比权重为1/(1-t)^2，在t接近1时权重会指数级增长，哪怕仅漏采了极窄的近1区间，这部分的积分贡献也会远大于已采样区域的总和，最终结果和解析值差出7个量级。
• 次要原因2：参数解析精度不足
  你用stof解析命令行输入的M和T，单精度浮点数的有效位数仅为6~7位，对于1e12以上的大参数会丢失有效精度，进一步放大了计算误差。

• 放弃无穷区间变换，直接使用有限区间积分：费米分布f_F(k)在k>20T时已经衰减到可忽略水平，直接把积分上限设为20*T即可，不需要做变量映射，自适应算法可以轻松覆盖核心贡献区。
• 把参数解析函数从stof换成stod，用双精度浮点数存储输入参数，避免精度丢失。
• 针对高温极限（M<<T）的场景，可以先做无量纲变换k = T * x，把积分转为x∈[0,20]的无量纲积分，进一步提升数值稳定性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者surrutiaquir