查询给定位图所有存储子集的高效数据结构及算法有哪些？

问题背景 #

设X是互不相同的64位无符号整数std::uint64_t的集合，每个整数被视为代表{1,2,…,64}子集的位图。

核心需求 #

给定不一定属于X的std::uint64_t类型对象A，列出X中所有满足B是A子集的元素（当A、B被解释为{1,2,…,64}的子集时）。

该判断条件在C++中可直接写为(A & B) == B
由于A本身不需要属于X，因此该问题和其他同类查询问题不重复。
额外特性：X会随时间动态新增元素（无删除操作），且查询次数远高于X的新增次数。
目前可采用std::set或排序的std::vector存储std::uint64_t类型元素，但性能存在优化空间。
核心问题：有哪些适合存储X的高效数据结构与对应查询算法？该问题属于通用场景问题，暂未找到合适的参考方案。

约束与性能期望 #

• 基础方案性能参考：若X采用std::set存储，可选两种查询逻辑：遍历A的所有子集查询，时间复杂度为O(2^m log |X|)（m≤64）；或遍历X所有元素查询，时间复杂度为O(|X| log |X|)。
• 性能期望：多数场景下，符合条件的B的数量远小于A的子集总数2^{m和X的总规模，希望算法运行耗时远低于O(|X|)或O(2}m)，理想情况接近O(匹配元素数量)，最坏情况无法优于O(|X|)。
• 内存约束：允许X存储存在一定内存开销，优先保障查询速度，内存瓶颈远低于时间瓶颈，可接受不超过std::set存储10倍的内存开销，渐近内存复杂度超过O(|X|)或O(|X| log |X|)的方案不可用。
• 语言约束：C++不是必要限制，核心关注算法与数据结构本身的可行性。

固定集合参考方案：若X为固定集合，可考虑采用哈塞图实现。哈塞图在X每次新增元素时的构建开销较高，若无其他更优方案也可尝试；后续补充其更新开销可能没有预期高，可行性比预估好。

现有可行思路参考 #

优先选型方案（最终补充） #

大概率采用带跳跃距离统计的概率跳表替代std::set，可快速统计区间内的X元素数量，当区间交集元素很少时直接切换为线性搜索，减少搜索区间数量。该方案和顺序统计树能力类似，但跳表的重新实现成本远低于std::set，尤其在不需要支持删除操作的场景下。

区间递归搜索方案 #

将X存储为按普通数值排序的std::set或std::vector，在不断缩小的区间内执行递归搜索：

• 示例：查询元素A = 10011010，包含最高位的A的子集落在闭区间[10000000, 10011010]；包含次高位但不包含最高位的子集落在区间[00010000, 00011010]；包含第三位但不包含第二位的子集落在区间[00001000, 00001010]；包含第四位但不包含第三位的子集落在区间[00000010, 00000010]。
• 拆分逻辑：对于第一个区间[10000000, 10011010]，可基于次高位再拆分两个子搜索区间：[10000000, 10001010]和[10010000, 10011010]。
• 以此类推递归拆分，搜索区间总长度不断缩小，渐近性能远优于遍历全量X的线性搜索。

方案示例

X = {00000010, 00001000, 00110111, 10011100}，仅第一层的第一、第三、第四区间和X存在非空交集，最终返回结果为[00000010, 00001000]。

方案已知缺陷

• 若X元素分布较为均匀，该方案的区间拆分存在不均衡问题，每层搜索区间宽度差异较大，上述示例中4个第一层搜索区间的大小分别为27、11、3、1，N更大时间距差异会更明显。
• 若查询集合A有k个有效位，第一层需要构造k个初始搜索区间（单比特搜索），第二层最多2k个，第三层最多4k个，以此类推。
• 经测算，log |X| = O(N)时搜索区间总数量为O(k + 2k + 4k + … + 2^n · k) = O(k²) = O(N²)，其中2^n = O(k)，每个区间构造耗时为O(N)，因此搜索区间构造的时间复杂度约为O(N³)。
• 完整算法复杂度不高于O(N³)，由于每个区间可能包含大量元素，通用场景下遍历元素的复杂度下界为O(2^N)，但可假设X的元素规模不会超过O(N³)的测算范围。
• 另一个问题是std::map无法直接查询区间内的元素数量（排序的std::vector支持该能力），因此无法判断何时停止区间拆分，直接遍历区间内剩余的X元素。当然可通过区间大小得到X元素数量的上界，但该上界误差通常较大。

剪枝优化参考：已有类似std::set且支持快速区间元素计数的实现方式，可适配到类std::map结构中，非常适合该场景的剪枝优化，但C++场景下需要自行重新实现大部分std::map的能力，实现成本较高。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user5428643