自定义euc函数是否属于recursion-schemes中的某类态射？

你的euc算子不属于apo态射的特化，二者的设计目标存在本质差异，对应递归态射的说明如下：

核心差异 #

apo态射的定位是构造递归数据结构，从它的类型签名可以明确看出来：

apo :: Functor f => (t -> f (Either (Fix f) t)) -> t -> Fix f

它的返回值是Fix f，也就是递归类型的不动点结构，生成过程中可以通过Left分支插入现成的递归子结构来提前终止某一分支的展开，和你的需求场景完全不符。
你实现的euc是尾递归迭代的通用抽象，目标是通过反复调用步进函数直接产出最终值，不需要构造任何中间递归结构。

对应标准递归态射 #

你的euc本质是recursion-schemes中**hylomorphism（常缩写为hylo，变质态射）**在函子为Either t时的特化版本。
hylomorphism的作用是将一次共递归展开（ana）和一次递归折叠（cata）结合，不需要生成中间的递归结构，完全匹配你的尾递归迭代场景，二者的等价实现如下：

import Data.Functor.Foldable

euc :: (a -> Either t a) -> a -> t
euc psi = hylo (either id id) psi

其中either id id就是折叠函数，负责把展开到最后的Left t直接作为结果返回。

欧几里得算法的递归方案实现 #

沿用你原本的步进逻辑，用标准hylo实现的欧几里得算法如下，和你原本的实现语义完全等价：

euclid :: Integral a => a -> a -> a
euclid x y = hylo (either id id) psi (x, y)
  where 
    psi (x, y) = let m = x `mod` y in if m == 0 then Left y else Right (y, m)

如果你非要用apo实现也可以，但是需要额外定义辅助递归结构来承载迭代过程，属于为了套标准态射而做的冗余实现，没有实际使用价值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者いとうかつとし