如何解决Mathematica中矩阵转置与自身相乘结果奇异无法求逆问题

两种情况差异的核心原因 #

首先明确线性代数中关于矩阵秩的两个基础结论：

• rank(A) ≤ min(m,n)：任意m行n列的矩阵A，秩不会超过行数、列数的较小值
• rank(A^T·A) = rank(A·A^T) = rank(A)：矩阵与自身转置的乘积的秩，等于原矩阵的秩

第一种情况（B奇异） #

你生成的A是3行51列的矩阵，因此rank(A)最大为3。而B = A^T·A是51行51列的方阵，它的秩最大也只能是3，远小于方阵的阶数51，属于降秩（奇异）矩阵，天然无法求逆，和A是否随机生成没有关系，是矩阵秩的固有约束导致的。

第二种情况（O可求逆） #

O = A·A^T是3行3列的方阵，它的秩最大为3。随机生成的整数矩阵几乎必然满足行满秩（即rank(A)=3），因此O的秩等于方阵阶数3，属于满秩矩阵，可以正常求逆。

让第一种情况结果非奇异的方法 #

要让A^T·A可逆，需要保证A^T·A的秩等于它的阶数，也就是需要A为列满秩矩阵，即A的列数 ≤ 行数。
如果你需要得到51×51的可逆B矩阵，只需要调整A的生成参数，让A的行数≥51即可，示例代码如下：

A = RandomInteger[{1, 20}, {60, 51}]; (* 行数60≥列数51，保证A几乎必然列满秩 *)
B = A\[Transpose].A;
F = Inverse[B];
F // MatrixForm

代码正确性说明 #

你的代码本身没有语法或逻辑错误，报错是线性代数的秩约束导致的，和代码实现无关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Md Salem