赤池信息准则（AIC）计算及两种非线性拟合结果的优劣判断咨询

计算前提说明 #

• 观测样本量n：本次提供的实验数据共58组
• Fit1可调参数数量k1=4，Fit2可调参数数量k2=4（5个参数中1个固定为0，固定参数无需估计，不计入AIC的参数k统计；若你需要将固定参数也计入，把k2改为5即可）
• 残差服从正态分布假设下，最小二乘拟合的AIC计算公式为：

AIC = 2k + n × ln(SSE/n)
其中SSE为残差平方和，等于所有观测点的（实验y值 - 拟合y值）的平方和

• 若n/k < 40，建议使用校正版AICc避免小样本偏差：

AICc = AIC + 2k(k+1)/(n-k-1)

• 判断规则：AIC/AICc值越小的模型，拟合的综合表现越好；两个模型差值小于2则没有显著优劣差异。

Excel实现步骤 #

1. 将所有数据粘贴到Excel中，调整列对应关系：A列=x_expt，B列=y_expt，D列=y_fit1，F列=y_fit2
2. 计算Fit1的残差平方和SSE1：在空白单元格输入公式 =SUMSQ(B2:B59-D2:D59)，Office 365直接回车即可，老版本按Ctrl+Shift+Enter执行数组公式
3. 计算Fit1的AIC：输入公式 =2*4 + 58*LN(SSE1单元格位置/58)，替换SSE1单元格位置为上一步的结果单元格
4. 同理计算Fit2的残差平方和SSE2：=SUMSQ(B2:B59-F2:F59)
5. 计算Fit2的AIC：=2*4 + 58*LN(SSE2单元格位置/58)
6. 如需计算AICc，Fit1对应公式为 =AIC1单元格位置 + 2*4*5/(58-4-1)，Fit2替换对应参数即可。

R实现步骤 #

直接运行如下代码即可自动计算并输出两个模型的对比结果：

# 1. 读取数据：先全选复制所有数据（包括表头两行）
# Windows系统用这行读取剪切板数据
dat <- read.table("clipboard", header = T, skip = 1)
# Mac系统替换为下面这行
# dat <- read.table(pipe("pbpaste"), header = T, skip = 1)

# 重命名列方便调用
colnames(dat) <- c("x_expt", "y_expt", "x_fit1", "y_fit1", "x_fit2", "y_fit2")

# 2. 自定义AIC计算函数
calc_aic <- function(y_obs, y_fit, k, n = length(y_obs)){
  sse <- sum((y_obs - y_fit)^2)
  aic <- 2*k + n * log(sse / n)
  aicc <- aic + 2*k*(k+1)/(n - k -1)
  return(list(SSE = sse, AIC = aic, AICc = aicc))
}

# 3. 分别计算两个模型的结果
fit1 <- calc_aic(dat$y_expt, dat$y_fit1, k = 4)
fit2 <- calc_aic(dat$y_expt, dat$y_fit2, k = 4)

# 4. 输出对比表格
res <- data.frame(
  模型 = c("Fit1（4个可调参数）", "Fit2（1个参数固定）"),
  SSE = round(c(fit1$SSE, fit2$SSE),4),
  AIC = round(c(fit1$AIC, fit2$AIC),2),
  AICc = round(c(fit1$AICc, fit2$AICc),2)
)
print(res, row.names = F)

运行后即可直接看到两个模型的SSE、AIC、AICc数值，直接对比大小即可判断拟合方案优劣。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Suddhasattwa Ghosh