命题逻辑真值树方法：为何不能用检验有效性的方式验证公式逻辑等价性

为什么不能直接套用检验逻辑有效性的步骤测试两个公式的等价性？ #

核心原因是两类测试的校验目标覆盖的场景数量不同：

• 检验单论证有效性时，我们只需要排除1种无效场景：所有前提为真、结论为假。所以只需要构造1次真值树，把「所有前提 + 结论的否定」加入节点，只要树完全闭合，就说明不存在这种无效场景，论证有效。
• 测试两个公式A和B的逻辑等价性时，我们需要排除2种不等价的场景：
  • 场景1：A为真、B为假
  • 场景2：A为假、B为真
    单轮真值树只能覆盖其中1种场景，所以没法只跑1次有效性测试就得出等价结论。当然不是说真值树完全不能测等价性，只是要跑两轮独立的真值树校验才行。

两个公式真值一致的前提下，否定其中一个会不会直接让真值树闭合？ #

这个取决于你往真值树里输入的节点组合：

• 如果你输入的节点是{A, ¬B}，且A和B确实等价，那么这棵树必然会完全闭合，因为不存在A真B假的赋值；同理输入{¬A, B}也会完全闭合。
• 如果你只单独输入¬A，没有同时加入B作为参照，那当然不会自动闭合，也没法验证等价关系。

简单来说，要验证等价性，必须两轮真值树都完全闭合才算通过：

1. 第一轮校验A→B是重言式：输入{A, ¬B}，树全闭合
2. 第二轮校验B→A是重言式：输入{¬A, B}，树全闭合

只做其中一轮只能证明单向蕴涵成立，无法证明双向等价。 #

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user870251