为何采用Gaussian Quadrature近似计算0~1区间integr(x)积分难度较高

• 区间映射错误（最高概率原因）
  标准高斯求积的采样节点、权重参数均是基于[-1, 1]标准区间推导的，计算[a,b]区间积分时必须做变量映射转换：计算[0,1]区间积分时，需将节点映射为x=(t+1)/2（t为[-1,1]区间的标准高斯节点），最终积分结果要乘以区间缩放系数0.5。如果直接套用标准区间的参数计算[0,1]积分，无论节点数n调整为多少，结果都会稳定在错误的固定值，和你观测到的现象完全吻合。
• 被积函数非光滑/存在奇点
  高斯求积的快收敛特性仅适用于区间内无限可微的光滑函数，如果你的integr(x)在[0,1]区间内存在端点发散、内部间断、导数跳变等非光滑特性，收敛速度会大幅下降，甚至提升节点数也无法明显改变计算结果，仅能稳定在一个近似精度的固定值。
• 节点/权重生成逻辑存在固定BUG
  若你是自行实现的高斯节点、权重计算逻辑，可以先验证低n值下的参数是否符合公开标准值（比如n=2时标准节点为±1/√3，权重均为1），如果生成逻辑存在固定错误，无论n调整为多大，结果都会存在固定偏差。

验证建议：先用已知精确积分值的简单函数测试程序正确性，比如∫_0^1 x² dx的精确值为1/3≈0.3333，若程序计算该函数的结果偏差较大，则说明是程序实现本身的问题，而非被积函数的积分计算难度高。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AlphaList