如何为未知解析形式的函数计算反函数近似值？

首先要明确前提：只有当函数f在[0, 2*Math.PI]区间内严格单调时，才存在唯一的单值反函数，如果f非单调，只能拆分出多个单调子区间分别计算对应区间段的反函数。满足前提的情况下，完全可以通过采样值得到反函数的近似采样结果，具体方案如下：

前置预处理 #

• 先将你持有的所有采样点按自变量从小到大排序，得到有序的配对序列 (u_i, f_i)，其中满足 0 = u_0 < u_1 < u_2 < ... < u_N = 2*Math.PI，f_i = f(u_i)
• 校验单调性：遍历所有相邻采样点，计算f_{i+1} - f_i，如果所有差值符号一致（全正为严格递增，全负为严格递减），则区间内f严格单调，可直接计算全局反函数；如果差值有正有负，需要先将原区间拆分为多个单调子区间，后续对每个子区间单独处理。

反函数近似采样步骤 #

• 直接将有序配对序列的两个维度调换，得到(f_i, u_i)，这就是反函数f⁻¹的原始采样点，天然满足f⁻¹(f_i) = u_i的定义
• 如果你需要的反函数采样值对应的输入（也就是原函数的输出值）没有刚好落在f_i的取值上，可以对(f_i, u_i)序列做插值得到近似值：
  • 采样密度足够高的场景下，优先选择线性插值，计算成本极低，精度也能满足大多数需求
  • 对精度要求更高的场景，可以使用三次样条插值，注意插值前需要保证f_i序列是严格有序的（原函数递增则f_i已升序，原函数递减则将(f_i, u_i)整体倒序即可）

注意事项 #

• 如果原函数存在平坦段（相邻f_i的差值小于你设定的误差阈值），这段区间的反函数无唯一解，建议直接标注该段反函数的取值为对应u的区间，或直接剔除平坦段
• 反函数的近似精度完全依赖原函数的采样密度，原函数曲率大的区域建议尽量保证有足够多的采样点，避免插值误差过大
• 不建议对超出[min(f_i), max(f_i)]范围的输入做反函数外插，外插误差没有可控保障

内容的提问来源于stack exchange，提问作者aSpagno