为什么Mathematica的VectorPlot返回空图？R²到R²矢量场绘制故障

问题根源 #

该空图问题确实由Mathematica的取值校验逻辑导致：
所用矢量场表达式在原点(0,0)处存在分母为0的奇点，无数学定义。Mathematica默认采样过程中命中奇点后会触发数值计算错误，中断后续渲染流程，最终输出空白画布。

修复方案 #

• 方案1：显式声明排除奇点，通过Exclusions参数指定要跳过的无定义区域，不改变原有矢量场的数学定义

VectorPlot[{y/Sqrt[x^2 + y^2], x/Sqrt[x^2 + y^2]}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, Exclusions -> x^2 + y^2 == 0]

• 方案2：给分母添加极小的数值扰动，从根源避免除以0的问题，适合不需要严格数学严谨性的快速可视化场景

VectorPlot[{y/Sqrt[x^2 + y^2 + 1*^-10], x/Sqrt[x^2 + y^2 + 1*^-10]}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

两种方案执行后都可以正常渲染出预期的2D矢量场效果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Simon Calabuig