音乐音高分值计算中对数运算的浮点数精度问题咨询

核心结论 #

你观测到的偏差完全不是浮点数精度导致的，是你混淆了「纯律音程的理论音分值」和「十二平均律的标称音分值」的固有差异，你的代码计算结果是完全准确的。

具体原因分析 #

• 十二平均律的定义是将1个八度（频率比2:1）等分为12个半音，每个半音对应100音分，因此：
  • 平均律纯五度占7个半音，标称值为700音分，对应频率比为2^(7/12) ≈ 1.4983，而非你测试用的3/2=1.5
  • 平均律大三度占4个半音，标称值为400音分，对应频率比为2^(4/12) ≈ 1.2599，而非你测试用的5/4=1.25
• 你测试用的3:2、5:4都是纯律的音程频率比，纯律追求音程的整数频率比和谐性，和十二平均律的音分值本就存在固有差：
  • 纯律纯五度的理论音分值为1200 * log2(3/2) ≈ 701.96，天然比平均律纯五度高约2音分，和你计算结果完全一致
  • 纯律大三度的理论音分值为1200 * log2(5/4) ≈ 386.31，天然比平均律大三度低约14音分，和你的计算结果完全匹配

浮点数精度的实际影响 #

你当前用的双精度浮点数计算log2的误差在1e-15量级，折算到音分最多是1e-12音分，完全不可能造成可感知的、甚至1音分级别的偏差。

验证方法 #

你可以用平均律对应的频率做测试：输入平均律纯五度频率440 * 2**(7/12)和440计算，得到的结果会无限接近700，误差可以忽略。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chris A.