计算1~n全排列使用特定重排排序算法总成本模m的高效方法

核心思路 #

通过动态规划计数每个cost对应的排列数量，再求和得到总cost，时间复杂度为O(n³)，足以处理n≤100的场景，远优于暴力O(n!·n²)的复杂度。

状态定义 #

定义dp[i][c]表示1~i的所有排列中，排序cost等于c的排列数量。

边界条件 #

• dp[1][0] = 1：仅有的1个排列cost为0

状态转移 #

我们基于i长度的排列扩展到i+1长度的排列：将元素i+1插入到1~i的排列的任意位置，分析插入后cost的变化，结合你提到的分布规律可以进一步简化转移：

• cost较小的区间计数和斐波那契数直接相关，可以快速递推
• cost较大的区间（起始位置x = n² - 4n + 3）y值完全相同，不需要逐一枚举计算，直接复用固定y值即可

总cost计算 #

总cost为所有dp[n][c] * c的和，计算过程中每一步都对m取模即可。

进一步优化 #

如果需要处理更大的n（如n≤500），可以结合分布规律做极致压缩：

• 小数区间直接用斐波那契数列推导计数
• 大数区间直接用等差数列求和公式计算总贡献，不需要逐一枚举c，时间复杂度可以压缩到O(n²)甚至O(n)

小值验证 #

用示例n=3验证：
dp[3][0]=1, dp[3][1]=1, dp[3][2]=1, dp[3][3]=1, dp[3][4]=1, dp[3][5]=1
总和：0*1 + 1*1 + 2*1 + 3*1 +4*1 +5*1 = 15，和示例结果完全一致。

参考实现伪代码 #

def solve(n, mod):
    max_cost = n * n  # 实际最大cost不超过n²，预留足够空间
    dp = [[0]*(max_cost+1) for _ in range(n+1)]
    dp[1][0] = 1
    for i in range(2, n+1):
        same_y_start = i*i - 4*i + 3
        # 小数区间用斐波那契规律递推计数
        # 大数区间直接赋值固定y值，不需要逐位计算
        pass
    total = 0
    for c in range(max_cost+1):
        total = (total + c * dp[n][c]) % mod
    return total

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ank12