如何在R中求解递推关系并确定其收敛点

核心逻辑 #

• 递推关系求收敛点的本质是重复执行递推计算，直到前后两次计算结果的差值小于指定精度阈值，此时的结果即可认定为收敛值
• 优先使用迭代实现，递归实现容易在迭代次数较多时触发栈溢出问题，仅适合迭代深度小的场景

通用实现代码 #

迭代法实现（推荐） #

# 入参说明：
# recur_fun：自定义的递推公式函数
# init_val：递推初始值
# tol：收敛判定精度，可根据考试要求调整
# max_iter：最大迭代次数，避免死循环
solve_recurrence_converge <- function(recur_fun, init_val, tol = 1e-6, max_iter = 10000) {
  current_val <- init_val
  for (i in 1:max_iter) {
    next_val <- recur_fun(current_val)
    if (abs(next_val - current_val) < tol) {
      return(list(收敛值 = next_val, 迭代次数 = i))
    }
    current_val <- next_val
  }
  stop("达到最大迭代次数仍未收敛，请调整初始值或迭代上限")
}

# 调用示例：递推式为x_{n+1} = 0.5*x_n + 2，初始值为0
my_recur <- function(x) {
  0.5 * x + 2
}
result <- solve_recurrence_converge(my_recur, init_val = 0)
# 输出收敛值
print(result$收敛值)

你只需根据题目给出的递推式修改my_recur函数内的计算逻辑，即可适配不同的一阶递推求解需求。

递归法实现（可选） #

recur_solve <- function(recur_fun, current_val, tol = 1e-6, iter = 1, max_iter = 10000) {
  next_val <- recur_fun(current_val)
  if (abs(next_val - current_val) < tol || iter >= max_iter) {
    return(next_val)
  }
  Recall(recur_fun, next_val, tol, iter + 1, max_iter)
}

# 调用示例
recur_solve(my_recur, current_val = 0)

高阶递推适配说明 #

如果是二阶及以上递推，只需调整递推逻辑，每次传入前几步的数值即可，二阶递推示例如下：

# 示例二阶递推：x(n) = 0.6*x(n-1) + 0.3*x(n-2)
solve_2order_recur <- function(init1, init2, tol=1e-6, max_iter=10000) {
  prev2 <- init1
  prev1 <- init2
  for (i in 1:max_iter) {
    current <- 0.6*prev1 + 0.3*prev2
    if (abs(current - prev1) < tol) {
      return(current)
    }
    prev2 <- prev1
    prev1 <- current
  }
  stop("未收敛")
}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jamie Holroyde