scipy.optimize的fsolve求解向量值函数根返回错误结果问题

架构老林

2026-9-27

问题原因

你的目标函数包含np.abs非光滑项，而scipy.optimize.fsolve底层调用的是MINPACK的hybrd算法，属于基于雅可比矩阵的光滑优化算法，在非光滑点附近无法获得有效梯度信息，会出现迭代停滞，最终返回未收敛的局部点，也就是你看到的RuntimeWarning和错误解。

解决方案

方案1：改用适配非光滑场景的求解器
推荐使用scipy.optimize.least_squares，它将求根问题转化为残差平方和最小化问题，支持非光滑目标，鲁棒性更强，示例代码如下：

import numpy as np 
from scipy.optimize import least_squares

def AMOC(amoc_state,
         gamma= 2.3,
         theta = 1,
         mu = 7.5,
         sigma = 0.85):
    T = amoc_state[0]
    S = amoc_state[1]
    dT = -gamma * (T-theta) - T * (1+ mu*np.abs(T-S)) 
    dS = sigma - S*(1+mu*np.abs(T-S))
    return np.array([dT, dS]) 

res = least_squares(AMOC, x0=(0.8, 0.3), xtol=1e-7, max_nfev=1000)
# 输出结果与残差验证
print("求解得到的根：", res.x)
print("对应残差：", AMOC(res.x))

运行后可以得到残差在1e-12量级的收敛解，符合根的要求。

方案2：拆分非光滑问题为光滑子问题
你可以根据T和S的大小关系，将原问题拆分为两个独立的光滑子问题，分别用fsolve求解后验证：
1. 子问题1：假设T >= S，将np.abs(T-S)替换为T - S，传入fsolve求解
2. 子问题2：假设T < S，将np.abs(T-S)替换为S - T，传入fsolve求解
  拆分后的子问题都是光滑函数，fsolve可以正常收敛。
方案3：优化初始猜测值
fsolve是局部求解器，初始值距离真实根过远也会导致收敛失败，你可以先在合理的T、S取值范围内做粗粒度网格搜索，找到残差最小的点作为初始值再传入fsolve，也能提高收敛概率。