PCA变换后计算的欧式距离与Mahalanobis距离结果不一致问题

你的理论理解没有错误，PCA正交化去相关后，对各主成分做标准差标准化，此时计算的欧氏距离与马氏距离等价，结果不一致是统计量估计的自由度参数不匹配导致的：

• np.cov 计算协方差矩阵时默认使用无偏估计，除数为样本量减1（你的样本量n=3，除数为2）；而 np.std 计算标准差时默认使用有偏估计，除数为样本量n=3。两者的尺度差了系数 sqrt(n/(n-1)) = sqrt(3/2) ≈ 1.2247，刚好对应你两个结果的比值：1.4142 / 1.1547 ≈ 1.2247，完全匹配。
• sklearn的PCA默认会自动对输入数据做中心化处理，你得到的X_transformed已经是减去全局均值后的投影结果，这部分逻辑是正确的。

只需要对齐两者的自由度参数即可，比如把标准差计算改为无偏估计，添加ddof=1参数：

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import mahalanobis
from sklearn.decomposition import PCA

X = [[1,2], [2,2], [3,3]]

mean = np.mean(X, axis=0)
cov = np.cov(X, rowvar=False)
covI = np.linalg.inv(cov)

maha = mahalanobis(X[0], mean, covI)
print(maha) # 输出 1.1547005383792515

pca = PCA()
X_transformed = pca.fit_transform(X)
# 改为无偏估计计算标准差，对齐协方差的自由度参数
stdev = np.std(X_transformed, axis=0, ddof=1)
X_transformed /= stdev

print(np.linalg.norm(X_transformed[0])) # 输出 1.1547005383792517，和马氏距离一致

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lara