如何将3D网格顶点归一化到原点中心单位立方体并获取顶点着色器变换矩阵

离线计算新顶点的步骤 #

这个操作的核心是先对齐原始网格的中心到坐标原点，再按比例缩放到目标立方体范围内，步骤如下：

• 首先计算原始网格的轴对齐包围盒（AABB），获取三个坐标轴上的极值：x_min、x_max、y_min、y_max、z_min、z_max
• 计算包围盒各维度的尺寸：x_len = x_max - x_min、y_len = y_max - y_min、z_len = z_max - z_min
• 确定缩放系数：如果要保留模型原始比例不产生拉伸，取三个维度尺寸的最大值作为统一缩放的分母，即max_len = max(x_len, y_len, z_len)，缩放系数s = 1.0 / max_len；如果允许模型拉伸适配立方体，可单独为每个维度设置缩放系数s_x = 1.0 / x_len、s_y = 1.0 / y_len、s_z = 1.0 / z_len
• 计算原始包围盒的中心坐标：center_x = (x_min + x_max) / 2.0、center_y = (y_min + y_max) / 2.0、center_z = (z_min + z_max) / 2.0
• 遍历所有原始顶点执行变换，以均匀缩放为例，每个原始顶点(x, y, z)的新坐标计算逻辑为：

  new_x = (x - center_x) * s
  new_y = (y - center_y) * s
  new_z = (z - center_z) * s
  

Vertex Shader中使用的变换矩阵 #

上述变换可以合并为一个4x4的仿射变换矩阵，直接在顶点着色器中与顶点坐标相乘完成计算。以OpenGL常用的列向量、右乘矩阵规则为例：

1. 第一步先构造平移矩阵，作用是将原始网格的中心移动到坐标原点，平移量为(-center_x, -center_y, -center_z)：

   T = [
    [1, 0, 0, -center_x],
    [0, 1, 0, -center_y],
    [0, 0, 1, -center_z],
    [0, 0, 0, 1        ]
   ]
   

2. 第二步构造缩放矩阵，以均匀缩放为例：

   S = [
    [s, 0, 0, 0],
    [0, s, 0, 0],
    [0, 0, s, 0],
    [0, 0, 0, 1]
   ]
   

3. 合并后的最终变换矩阵为缩放矩阵左乘平移矩阵（先执行的平移变换放在矩阵乘法的右侧）：

   M = S * T = [
    [s, 0, 0, -s * center_x],
    [0, s, 0, -s * center_y],
    [0, 0, s, -s * center_z],
    [0, 0, 0, 1            ]
   ]
   

在顶点着色器中直接将输入的顶点齐次坐标（w=1）与矩阵M相乘，即可得到目标单位立方体内的顶点坐标。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yoey