如何估算双人回合制棋类游戏中Expectiminimax算法的状态空间？

Hey there! Great job getting the Expectiminimax algorithm implemented for your two-player turn-based game—estimating state space (especially with random elements like dice) doesn’t require precise exact counts, and there are several practical ways to ballpark it:

1. 先拆解估算基础状态空间（不含骰子随机性） #

游戏状态由确定性组件构成，把这些组件拆分出来，分别计算每种组件的可能性，再相乘得到整体：

• 当前回合玩家：2种可能（玩家1或玩家2）
• 棋子位置分布：这是最核心的变量，需要结合你的游戏规则调整：
  • 场景1：不允许棋子堆叠，所有14枚棋子（双方各7枚）都在棋盘上：相当于从14个方格中选7个放置玩家1的棋子，剩余方格放玩家2的棋子，计算式为组合数 C(14,7) = 3432。
  • 场景2：允许棋子堆叠，所有棋子都在棋盘上：玩家1的每枚棋子都有14个方格可选，玩家2同理，总数为 14^7 * 14^7 = 14^14 ≈ 1.11e16——这个数字很大，但如果规则允许堆叠就是合理的量级。
  • 场景3：存在棋子不在棋盘的情况（比如被吃掉、未放置）：需要对所有有效的(k,m)组合求和（k是玩家1在棋盘的棋子数，m是玩家2在棋盘的棋子数，0 ≤ k,m ≤7）。对每个组合，计算对应的分布数（比如不堆叠的话是 C(14,k)*C(14,m)），再累加所有组合的结果。
• 额外状态变量：如果游戏还有其他状态（比如特殊技能冷却、回合计数器），再乘以对应变量的可能取值数。没有的话可以忽略这一项。

把这些数值相乘就能得到基础状态数。比如场景1的基础状态数是 2 * 3432 = 6864。

2. 估算搜索树复杂度（含骰子和玩家动作） #

由于你的游戏用了有5种结果的骰子，搜索树的大小还要考虑骰子带来的分支和玩家的动作选项：

• 每回合的骰子结果：5种可能
• 每个骰子结果对应的平均有效动作数：我们称之为A（根据你的规则调整，比如掷出3点时玩家平均有4种可行移动的话，A=4）。

对于搜索深度为D的情况，搜索树的总节点数大概是：
基础状态数 * (5 * A)^D

举个例子：如果基础状态数是6864，A=3，搜索深度为5，那总节点数约为 6864 * (15)^5 ≈ 5.2e9——这个结果能帮你判断更深层次搜索的可行性。

3. 简化估算：剔除冗余对称状态 #

很多棋类游戏存在策略上完全等价的对称状态（比如棋盘左右翻转、双方棋子互换后的状态），可以把基础状态数除以对称的数量来得到更贴合实际的估算值：

• 如果棋盘是对称的，除以2
• 如果互换玩家身份后状态等价，再除以2

这种简化能大幅降低估算数值，尤其适用于状态数较少的场景。

4. 抽样统计法（适用于规则复杂的情况） #

如果你的游戏规则太复杂，没法用清晰的数学公式计算，可以写个小脚本生成大量随机有效状态，统计其中的唯一状态数后进行外推：

• 生成N个随机状态
• 去重后得到M个唯一状态
• 估算总状态数为 (原始可能组合总数) * (M/N)

这种方法适合状态数不是特别庞大的场景——比如场景2的1e16级状态就不适合抽样，但场景1或场景3非常适用。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者YousefM