Eigen不同稀疏求解器求解同一线性系统得到差异极大结果问题

核心原因 #

• 两类求解器的适用矩阵范围存在本质差异：
  SimplicialLDLT属于Cholesky分解类求解器，仅支持对称正定（SPD）矩阵，默认只读取输入矩阵的下三角部分进行分解，自动忽略上三角元素。而SparseLU是通用LU分解求解器，支持所有非奇异方阵，会使用矩阵的全部元素进行计算。如果你的bijection系数矩阵不是对称正定矩阵，SimplicialLDLT的分解对象本质上是由输入矩阵下三角构造的伪对称矩阵，和原矩阵完全不同，自然会得到错误的求解结果。
• 校验逻辑不生效属于预期行为：
  SimplicialLDLT的info()返回Eigen::Success仅代表分解过程没有遇到零对角元，不会主动校验输入矩阵是否满足对称正定的前置要求，所以即使矩阵不符合要求也不会触发错误提示。

修复方案 #

• 先验证系数矩阵属性：调用bijection.isApprox(bijection.transpose())校验矩阵是否对称，同时可计算矩阵特征值确认所有特征值为正，确认是否满足SimplicialLDLT的使用前提。
• 若确认矩阵为对称正定矩阵，可显式指定求解器读取全矩阵元素，避免默认三角读取导致的误差：

  Eigen::SimplicialLDLT<Eigen::SparseMatrix<Scalar>, Eigen::Lower|Eigen::Upper> solver(bijection);
  

• 若矩阵本身不满足对称正定要求，不要使用Cholesky类求解器，继续使用SparseLU即可，也可根据矩阵特性选择SparseQR、迭代求解器等其他合适方案。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Makogan