扁平化图像旋转矩阵A的形式求解及误差最小化问题

设原始图像为H行W列，总像素数N=H×W，扁平化向量x的第k个元素对应原始图像的二维坐标为(u_k, v_k)（行优先展开时满足k = v_k * W + u_k）。经角度θ旋转后的扁平化向量为y，对应的N×N变换矩阵A的形式可分为两种场景说明：

理想无插值、无裁剪场景 #

仅当θ为90°的整数倍时，旋转后的像素坐标可完全对齐整数格点，且无像素落在画布外：

• 矩阵A为0-1置换矩阵，每一行、每一列有且仅有一个元素为1，其余元素均为0
• 对于A的第m行（对应y的第m个元素，即旋转后图像的第m个像素），仅当原始图像第k个像素经旋转变换后恰好对应旋转后图像第m个像素的坐标时，A[m, k] = 1
• 该场景下A为正交矩阵，满足A^T = A^-1，乘法运算可无误差得到y

实际含插值、裁剪场景 #

θ不是90°整数倍时，旋转后的坐标为浮点值，需要插值计算像素值，同时边缘像素可能落在画布外被裁剪：

• 矩阵A为高度稀疏矩阵，元素为0到1之间的插值权重
• 对于A的第m行，首先通过逆旋转变换，找到旋转后第m个像素对应原始图像的浮点坐标(u_float, v_float)，该行非零元素仅分布在该浮点坐标周围的整数格点对应位置：
  • 若采用最近邻插值：仅距离最近的1个原始像素对应位置的权重为1，其余为0
  • 若采用双线性插值：周围4个相邻原始像素对应位置的权重为双线性插值系数，权重和为1
  • 若采用双三次插值：周围16个相邻原始像素对应位置的权重为双三次插值系数，权重和为1
• 若逆变换得到的浮点坐标落在原始图像范围外，对应行所有元素均为0，对应裁剪效应
• 工程实现中不会直接构造这个矩阵A（N通常为1e5~1e7量级，矩阵存储代价过高），而是直接逐像素通过坐标变换+插值完成计算

受插值精度、裁剪的影响，直接通过Ax计算得到的结果和实际旋转得到的y存在微小误差，此时最小化||Ax - y||²的最小二乘解，就是该变换下的最优拟合结果。如果是需要从旋转后的y恢复原始图像x，也可以通过求解该最小二乘问题得到最优重建结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Researcher_Witty