Julia中如何求指定秩矩阵的列空间与行空间的基向量？

方法1：基于列选主元QR分解（计算速度快） #

列选主元的QR分解会自动将线性无关的列优先排列，只需提取分解得到的正交矩阵Q的前r列即可得到列空间的正交基：

using LinearAlgebra

# 对矩阵A做列选主元QR分解
qr_fact = qr(A, ColumnNorm())
# 获取矩阵真实秩
r = rank(A)
# 列空间基：每一列对应一个基向量，维度为(n, r)
col_space_basis = qr_fact.Q[:, 1:r]

# 如果需要行空间基，对A的转置做相同操作即可
row_space_basis = qr(transpose(A), ColumnNorm()).Q[:, 1:r]

方法2：基于SVD分解（数值稳定性最优） #

SVD是求矩阵基最稳定的方案，非零奇异值对应的左奇异向量张成列空间，右奇异向量张成行空间，完全可以满足你的需求：

using LinearAlgebra

svd_fact = svd(A)
r = rank(A)
# 列空间基：左奇异矩阵前r列，维度(n, r)
col_space_basis = svd_fact.U[:, 1:r]
# 行空间基：右奇异矩阵前r列，维度(m, r)
row_space_basis = svd_fact.V[:, 1:r]

效果验证 #

针对你给出的秩为3的测试矩阵，以上两种方法得到的基向量数量均为3，可通过下面代码验证基的正确性：

# 验证列空间一致：拼接A和基矩阵的秩和A本身的秩相等
@assert rank([A col_space_basis]) == r

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Physics_Student