如何在R中编写仅以n为输入的拉马努金嵌套根式计算函数

拉马努金嵌套根式的展开形式为：$\sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + ... + n\sqrt{1}}}}，当n趋近于无穷大时，该式的极限值为3。

实现思路 #

• 优先采用从最内层往外层迭代计算的逻辑，避免递归深度过大导致的栈溢出问题，计算效率更高
• 初始值设为最内层的计算结果1，从k从n倒序遍历到2，逐层向外计算即可得到n层嵌套的结果

代码实现 #

ramanujan_nested_root <- function(n) {
  # 输入参数合法性校验
  if (!is.numeric(n) || n < 2 || length(n) != 1 || round(n) != n) {
    stop("输入参数n必须为大于等于2的正整数")
  }
  res <- 1
  # 从内向外迭代计算
  for (k in n:2) {
    res <- sqrt(1 + k * res)
  }
  return(res)
}

使用示例 #

# 计算嵌套到第5层的结果
ramanujan_nested_root(5)
# 计算嵌套到第50层的结果，已经非常接近理论极限3
ramanujan_nested_root(50)

注意事项 #

n取值越大，计算结果精度越高，当n≥30时计算结果和极限值3的误差已经小于1e-6，可满足绝大多数场景的精度需求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Amit Kumar