如何基于现有样本数据估算可最小化输出Y的输入向量

你当前的问题本质是基于有限离散采样点，拟合输入变量x1、x2、x3到输出Y的连续映射关系，再在输入空间内搜索全局最小值点，具体可按以下步骤推进：

• 第一步：拟合输入输出映射模型
  你只有3个输入变量，样本量虽少但覆盖了三维输入空间的8个顶点，可选择的拟合模型包括：
  • 二阶多项式回归：能捕捉变量间的交互效应，参数少不易过拟合，结果可解释性强
  • 高斯过程回归：小样本下拟合精度高，还能输出预测结果的置信区间，方便后续验证
• 第二步：在输入空间内搜索Y的最小值
  因为输入空间仅为三维（通常每个变量取值范围在[0,1]区间），可选的搜索方法效率都很高：
  • 网格搜索：设置合适的步长（比如0.01），遍历所有输入组合计算Y的预测值，直接找出最小值对应的输入向量，总计算量仅为100100100=100万次，普通设备就能秒出结果
  • 贝叶斯优化：如果后续需要通过实际采样验证最优解，用贝叶斯优化可以用最少的采样次数逼近真实最小值，效率更高
• 第三步：验证最优解可靠性
  找到预测的最小Y对应的输入向量后，建议在该点附近多采几组邻近点验证Y的实际值，避免模型过拟合导致预测的最优解不符合真实情况

你示例中提到的Y=13.9对应的输入向量(0.1,0.95,0.2)，就是在现有样本最小值点(0,1,0)的基础上，通过拟合模型捕捉到的变量交互效应得到的更优解，符合上述方法的输出逻辑。如果你的输入变量存在额外约束（比如三个变量之和为1等），只要在搜索阶段把约束条件加上即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J.C.