Python平方根函数实现中step取epsilon平方的原因咨询

x = 25
epsilon = 0.01
step = epsilon**2
numGuesses = 0
ans = 0.0
while abs(ans**2 - x) >= epsilon and ans <= x:
    ans += step
    numGuesses += 1
print('numGuesses =', numGuesses)
if abs(ans**2 - x) >= epsilon:
    print('Failed on square root of', x)
else:
    print(ans, 'is close to square root of', x)

以上是《Python计算与编程导论》一书中的穷举法求平方根实现，关于step = epsilon**2的取值推导逻辑如下：

• 算法的核心目标是找到满足|ans² - x| < epsilon的近似解，epsilon是我们允许的平方误差阈值，本例中为0.01。
• 这是线性穷举算法，每次给候选值ans加固定步长step，要保证步长足够小，不会一步跨过符合误差要求的区间，导致漏判（明明存在符合要求的解，却返回查找失败）。
• 我们可以计算步长带来的平方值增量：(ans + step)² - ans² = 2*ans*step + step²，这个增量必须小于epsilon，才能保证不会漏解。
• 作者选择了非常保守、无需额外预计算的步长取值：直接取step为epsilon的平方，也就是0.0001。代入本例x=25的场景，候选值ans最大不超过5，平方增量最大值约为2*5*0.0001 = 0.001，远小于epsilon=0.01，完全可以保证不会跳过符合要求的解。就算x取到100以内的数值，这个步长带来的平方增量都不会超过0.002，依然满足要求，适用范围很广。
• 这个取值的优势是实现简单，不需要提前估算x的平方根范围，非常适合入门教学场景。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Walid