吸收马尔可夫链自定义求解算法的有效性验证疑问

我遇到了一道需要计算到达终止状态概率的编程题。花了数小时尝试用传统方法求解未果后，我通过搜索得知该问题对应吸收马尔可夫链，且有对应的求解公式。但我最初以为自己的推导方案存在疏漏，因为计算结果和我误以为正确的网上解法结果不一致，特来求证。

请忽略粗糙的绘图。该图共有4个节点，黑色线条代表原始转移路径及对应概率，彩色线条代表到达终止状态的路径。

我的算法步骤 #

• 步骤1：枚举所有到达终止点的有效路径，累加所有通向终止节点的路径概率，作为到达该节点的初始概率。
• 步骤2：忽略循环路径，即直接忽略节点4到节点1的1/3转移概率。

步骤2的依据：循环回溯会等比例提升所有终止路径的概率，各路径的相对概率保持不变。例如从节点4返回节点1的概率为1/3，该情况下后续去往节点2、3、4的概率各会增加1/27（1/3 * 1/3 * 1/3），三者相对概率仍保持一致。

• 步骤3：由于移除循环路径后总终止概率不为1，需将各终止节点的初始概率除以总终止概率，得到最终的到达概率。

计算结果 #

各单次无循环路径概率：

• 红色路径概率：1/3
• 绿色路径概率：1/3
• 蓝色路径概率：1/3 * 2/3 = 2/9

初始概率统计：

• 到达节点3的初始概率：1/3
• 到达节点2的初始概率：2/9 + 1/3 = 5/9
• 总终止概率：1/3 + 5/9 = 8/9

归一化后的最终概率：

• 到达节点3的最终概率为：(1/3) / (8/9) = 3/8
• 到达节点2的最终概率为：(5/9) / (8/9) = 5/8

逻辑验证 #

如果对步骤2有疑问，我们可以再次验证：
假设存在路径1→4→1，该段概率为1/9，后续可再乘以所有彩色路径的概率，与之前的计算结果累加后：

• 到达节点3的概率为10/27
• 到达节点2的概率为50/81
• 总终止概率为80/81

归一化后的结果：

• 新的节点3终止概率为(10/27) / (80/81) = 3/8（和之前结果一致）
• 新的节点2终止概率为(50/81) / (80/81) = 5/8（和之前结果一致）

此前我误以为通过网上算法得到的节点3、2的真实概率分别为2/5和3/5，还曾怀疑网上算法有误。 后续发现是我自己使用网上解法时操作错误

我之前疑惑自己的结果和误算的“正确结果”接近，不知道哪里出错，现在想求证我的算法逻辑是否确实成立？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者hkcode