R语言lm()拟合相同线性模型得到不一致R平方值的原因咨询

这是R语言的正常设计，不是Bug，差异来自R平方、F统计量的计算规则会根据模型公式是否显式声明无截距自动切换，具体逻辑如下：

1. R平方的两种计算规则 #

summary.lm()计算R平方时会自动判断模型公式是否包含~0/~-1（无截距声明），采用不同计算逻辑：

• 带截距模型（你的代码m1 <- lm(stack.loss ~ ., data = stackloss)属于这类，R默认公式加截距）：
  R平方公式为 $R^2 = \frac{\sum(\hat{y}-\bar{y})^{2}{\sum(y-\bar{y})}2}$，衡量的是模型对y围绕样本均值的变异的解释比例，是我们常规认知里的R平方。
• 显式声明无截距的模型（你的代码m2 <- lm(y ~ 0 + X)属于这类）：
  R会默认你要拟合过原点的模型，R平方公式切换为 $R^2 = \frac{\sum \hat{y}^2}{\sum y^2}$，衡量的是模型对y的原始平方和的解释比例，和带截距模型的R平方没有可比性。

2. 你的场景的特殊性 #

你在m2的公式里声明了无截距，但传入的X = model.matrix(m1)本身已经包含了截距列，所以m2本质上和m1拟合的是完全相同的模型，系数、残差、残差标准误差自然完全一致。但R因为检测到公式里的~0声明，依然用无截距规则计算R平方和F统计量，才会出现数值差异。

3. F统计量差异的原因 #

两个模型的F检验原假设不同：

• m1的F检验原假设为除截距外所有自变量系数为0，分子自由度为3（对应3个预测变量），所以输出F统计量自由度为3和17
• m2的F检验原假设为传入的X矩阵所有列的系数都为0（包括截距列在内共4个系数），分子自由度为4，所以输出F统计量自由度为4和17，数值和p值都和m1不同。

解决方案 #

如果要让m2输出和m1一致的统计量，把公式改为lm(y ~ X)即可，R会自动识别X中的截距列，放弃默认生成的截距，同时采用带截距模型的统计量计算规则。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jochen