如何用Armstrong公理证明AG为给定关系模式的超键

结论前置 #

可以推导出和G相关的有效结论，核心基于Armstrong公理的自反律，不需要依赖给定函数依赖集F中显式包含G的依赖项，具体推导过程如下：

1. 用到的Armstrong公理规则说明 #

• 自反律：若属性集Y是属性集X的子集，则必然有X→Y成立，该规则为内置公理，不依赖给定的函数依赖集F
• 增广律：若X→Y成立，Z为任意属性集，则XZ→YZ成立
• 传递律：若X→Y、Y→Z成立，则X→Z成立

2. 计算AG的属性闭包(AG)+ #

超键的判定规则是：若属性集的闭包包含关系的全部属性，则该属性集为超键，因此我们计算(AG)+验证：

1. 初始化闭包集合：根据自反律，AG→A、AG→G，因此初始闭包为 {A, G}
2. 应用F中的A→BCD规则：结合增广律可得AG→BCD，将B、C、D加入闭包，此时闭包为 {A, B, C, D, G}
3. 应用F中的BC→DE规则：当前闭包已包含B、C，因此可得AG→DE，将E加入闭包，此时闭包为 {A, B, C, D, E, G}

3. 超键判定 #

此时(AG)+已经覆盖关系R的全部6个属性，因此AG是R的超键。

G相关可推导结论补充 #

除上述证明用到的依赖外，基于给定F可推导的G相关结论仅包括：

• 任意包含G的属性集X，都满足X→G（由自反律直接推导）
• 不存在不包含G的属性集X，能推导出X→G：因为F中所有依赖的右部都不含G，闭包推导过程中永远不会将G加入不包含G的属性集的闭包中
• G本身无法决定除自身外的任何其他属性：G的闭包(G)+ = {G}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Encipher