MATLAB求解二元函数局部极小值、极大值及拐点问题求助

问题说明 #

你需要求解给定二元函数的局部极小值点、局部极大值点与拐点，目标函数如下：

你编写的原始MATLAB代码如下：

syms [x1,x2]

f = 3*x1.^2+2*x1.*x2+2*x2.^2+7;

G = gradient(f,[x1,x2]);

S = solve(G(1),G(2));

[S.x1 S.x2]

%settting gradient to zero givens x=(0, 0) as the only candidate minimum point

H = hessian(f,[x1,x2])

运行后得到的结果异常：

问题原因 #

代码的核心语法错误出在符号变量定义行：MATLAB中syms定义多个符号变量不需要加中括号，直接用空格分隔变量名即可，错误的变量定义方式导致后续梯度、海森矩阵的计算维度匹配错误，输出结果异常。

此外你目前的代码仅完成了驻点求解，还缺少极值类型判断、拐点判断的逻辑。

修复后的完整代码 #

% 正确定义符号变量
syms x1 x2

% 定义目标函数
f = 3*x1^2 + 2*x1*x2 + 2*x2^2 + 7;

% 计算梯度，求驻点
G = gradient(f, [x1, x2]);
S = solve(G(1) == 0, G(2) == 0);
disp('驻点坐标：')
disp([double(S.x1), double(S.x2)])

% 计算海森矩阵判断极值类型
H = hessian(f, [x1, x2]);
disp('海森矩阵：')
disp(double(H))

% 计算海森矩阵特征值判断正定性
eig_H = eig(H);
disp('海森矩阵特征值：')
disp(eig_H)

结果分析 #

• 驻点计算结果为(0, 0)，是该函数唯一的驻点
• 海森矩阵计算结果为$\begin{bmatrix}6 & 2 \ 2 & 4\end{bmatrix}$，两个特征值均为正数，海森矩阵正定，因此(0, 0)是该函数的局部极小值点，同时也是全局极小值点
• 该函数是凸二次函数，不存在局部极大值点，也不存在拐点

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mansoor Rahami